Question

16．如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，点M为$\widehat{BC}$上一动点，探索MA，MB，MC的关系．

Answer 1

分析 在MA上截取ME=MC，则△MEC为等边三角形，得到CE=CM，∠MCE=60°，易证△CAE≌△CBM，得到AE=MB，即有MB+MC=MA．

解答 解：MB+MC=MA．
理由如下：截取ME=MC，
∵∠AMC=∠ABC=60°，
∴△MEC为等边三角形，
∴CE=CM，∠MCE=60°，
而∠ACB=60°，
∴∠ACE=∠BCM，
在△CAE和△CBM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BCM=∠ACE}\\{∠CBM=∠CAE}\\{BC=AC}\end{array}\right.$，
∴△CAE≌△CBM，
∴AE=MB，
∴MB+MC=MA．

点评 本题考查了圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，也考查了等边三角形的性质和三角形全等的判定与性质以及证明一条线段等于两条线段和的方法．