Question

9．如图所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的半径为8，则阴影部分的面积等于$\frac{64}{3}$π．

Answer 1

分析 首先连接OC，OE，分别交BD，DF于点M，N，易证得S_△OBM=S_△DCM，同理：S_△OFN=S_△DEN，则可得S_阴影=S_扇形OCE．

解答 解：连接OC，OE，分别交BD，DF于点M，N，如图所示：
∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，
∴∠BOC=60°，∠BCD=∠COE=120°，
∵OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠OBC=∠OCB=60°，
∴∠OCD=∠OCB，
∵BC=CD，
∴∠CBD=∠CDM=30°，BM=DM，
∴∠OBM=30°，S_△DCM=S_△BCM，
∴∠OBM=∠CBD，
∴OM=CM，
∴S_△OBM=S_△BCM，
∴S_△OBM=S_△DCM，
同理：S_△OFN=S_△DEN，
∴S_阴影=S_扇形OCE=$\frac{120π×{8}^{2}}{360}$=$\frac{64}{3}$π．
故答案为：$\frac{64}{3}$π．

点评 此题考查了正多边形与圆的知识以及扇形的面积公式．注意证得S_阴影=S_扇形OCE是关键．