Question

3．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（-1，0），B（-1，1），C（1，0），D（1，2），点P是坐标系内一点，给出定义：若存在过点P的直线l与线段AB，CD都有公共点，则称点P是线段AB、CD的“联络点”．现有点P（x，y）在直线y=$\frac{1}{6}$x上，且它是线段AB、CD的“联络点”，则x的取值范围是x≤-$\frac{6}{5}$或x≥0．

Answer 1

分析 作直线BD、BC、AD以及y=$\frac{1}{6}$x，根据点A、D的坐标利用待定系数法求出直线AD的解析式，分x≥0与x＜0两种情况考虑，根据直线y=$\frac{1}{6}$x在其他直线中间时，即可得出x的取值范围．

解答 解：作直线BD、BC、AD以及y=$\frac{1}{6}$x，如图所示．
设直线AD的解析式为y=kx+b，
将点A（-1，0）、D（1，2）代入y=kx+b中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{0=-k+b}\\{2=k+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴直线AD的解析式为y=x+1．
观察图形可知：
当x≥0时，直线y=$\frac{1}{6}$x在x轴（包括x轴上）于直线AD之间，此时直线y=$\frac{1}{6}$x上的点均为“联络点”；
当x＜0时，联立直线y=$\frac{1}{6}$x与直线AD成方程组，
得：$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{6}x}\\{y=x+1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{6}{5}}\\{y=-\frac{1}{5}}\end{array}\right.$，
直线y=$\frac{1}{6}$在x≤-$\frac{6}{5}$中时，图象在直线AD（包括直线AD上的点）、BC之间，
∴当x≤-$\frac{6}{5}$时，直线y=$\frac{1}{6}$x上的点均为“联络点”．
故x的取值范围为：x≤-$\frac{6}{5}$或x≥0．
故答案为：x≤-$\frac{6}{5}$或x≥0．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是画出图形，利用数形结合解决问题．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，利用数形结合解决问题是关键．