Question

3．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=$\frac{m}{x}$（m≠0）的图象交于二、四象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点B的坐标为（12，n）
，OA=10，E为x轴负半轴上一点，且tan∠AOE=$\frac{4}{3}$．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）延长AO交双曲线于点D，连接CD，求△ACD的面积．

Answer 1

分析 （1）根据OA=10，tan∠AOE=$\frac{4}{3}$，即可得到A（-6，8），进而得出反比例函数解析式为：y=-$\frac{48}{x}$，根据A（-6，8），B（12，-4），利用待定系数法即可得出一次函数的解析式为y=-$\frac{2}{3}$x+4；
（2）先求得C（6，0），D（6，-8），再根据S_△ACD=S_△ACO+S_△CDO进行计算即可．

解答 解：（1）如图，过A作AF⊥x轴于F，
∵OA=10，tan∠AOE=$\frac{4}{3}$，
∴可设AF=4a，OF=3a，则由勾股定理可得：
（3a）²+（4a）²=10²，
解得a=2，
∴AF=8，OF=6，
∴A（-6，8），
代入反比例函数y=$\frac{m}{x}$，可得m=-48，
∴反比例函数解析式为：y=-$\frac{48}{x}$，
把点B（12，n）代入y=-$\frac{48}{x}$，可得n=-4，
∴B（12，-4），
设一次函数的解析式为y=kx+b，则
$\left\{\begin{array}{l}{8=-6k+b}\\{-4=12k+b}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{2}{3}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴一次函数的解析式为y=-$\frac{2}{3}$x+4；

（2）在一次函数y=-$\frac{2}{3}$x+4中，令y=0，则x=6，即C（6，0），
∵A（-6，8）与点D关于原点成中心对称，
∴D（6，-8），
∴CD⊥x轴，
∴S_△ACD=S_△ACO+S_△CDO
=$\frac{1}{2}$CO×AF+$\frac{1}{2}$CO×CD
=$\frac{1}{2}$×6×8+$\frac{1}{2}$×6×8
=48．

点评 本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，解题时注意：反比例函数与一次函数交点坐标同时满足反比例函数与一次函数解析式．解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形．