Question

13．若关于x的方程$\frac{2k}{x+2}-\frac{x-1}{{{x^2}+2x}}=\frac{kx+1}{x}$只有一个解（相等的解也算作一个），求k的值．

Answer 1

分析 首先去分母、去括号、把方程化成一般形式，然后分成方程是一元一次方程和一元二次方程两种情况进行讨论，当是一个一元一次方程时只有一个解；当时一元二次方程时，△=0只有一个解；当△＞0时，方程有一个解是增根时也只有一个解．

解答 解：原分式方程可化为kx²+2x+1=0．（x≠0，x≠-2）①
（1）当k=0时，x=-$\frac{1}{2}$是分式方程的一个解．
（2）当k≠0时，△=2²-4k=0时，k=1，x=-1是分式方程的一个解．
（3）当k≠0时，△＞0时，方程①的两个根一个是分式方程的增根，另一个是分式方程的根．
当x=-2是分式方程的增根时，代入方程①得k（x-2）2+2×（-2）+1=0，
则k=$\frac{3}{4}$．
此时，方程①的另一个根$x=-\frac{2}{3}$是分式方程的一个解；
当x=0是分式方程的增根时，代入方程①得k×0²+2×0+1=0不可能成立．
故k的值是0或1或$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了分式方程的解，注意到当△＞0时，方程有一个解是增根时也只有一个解是本题的关键．