Question

如图，P为△ABC的边BC的垂直平分线上的一点，此垂直平分线交BC于G，且∠PCB=

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2

∠A，BP、CP的延长线分别交AC、AB于D、E．求证：BE=CD．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,线段垂直平分线的性质

专题：证明题

分析：作BF⊥CE于F点，CM⊥BD于M点．证明Rt△BEF≌Rt△CDM．易证Rt△PBF≌Rt△PCM，得到BF=CM；由于∠A=∠BPE，在四边形ADPE中，根据内角和定理可得∠BEF=∠CDM，所以Rt△BEF≌Rt△CDM．得证．

解答：证明：作BF⊥CE于F点，CM⊥BD于M点，
则∠PFB=∠PMC=90°．
∵PG是BC的垂直平分线，
∴PB=PC．
在△PBF和△PCM中，

∠PFB=∠PMC ∠BPF=∠CPM PB=PC

，
∴△PBF≌△PCM（AAS），
∴BF=CM；
∵PB=PC，
∴∠PBC=∠PCB=

1

2

∠BPE．
∵∠PBC=

1

2

∠A，
∴∠A=∠BPE．
∴∠EPD+∠BPE=∠EPD+∠A=180°，
∴∠AEP+∠ADP=180°．
又∠AEP=∠BEF，∠ADP+∠CDM=180°，
∴∠BEF=∠CDM．
在△BEF和△CDM中，

∠BEF=∠CDM ∠BFE=∠CMD BF=CM

，
∴△BEF≌△CDM（AAS）．
∴BE=CD．

点评：此题考查了线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意构造全等三角形是关键，注意掌握数形结合思想的应用．