Question

【题目】如图，AB＝4，C为射线BA上一动点，以BC为边向上作正三角形BCD，⊙O过A、C、D三点，E为⊙O上一点，满足AD＝ED，直线CE交直线AD于F．

（1）求证：CE∥BD；

（2）设CF=a，若C在线段AB上运动．

①求点E运动的路径长；

②求a的范围；

（3）若AC＝1，求 tan∠DEC．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）①4；②0≤a≤1；（3）或；

【解析】

（1）连接AE，证△ADE为等边三角形即可得到∠ECD=∠CDB=60°，则有CE∥BD.

(2) ①首先分析E点的运动轨迹是在于AB平行且距离为2的直线上，再进行计算；

②设CB的长为x(0<x<4),通过证明，得到用含x的式子表示a,从而求出a的取值范围.

(3)分两种情况讨论：点C在线段AB上和在A点的左边两种情况分别进行计算求解.

解：（1）连接AE

∵三角形BCD是等边三角形，

∴∠B=∠BCD=∠BDC=60°.

∵四边形ACDE是圆O的内接四边形，

∴∠AED+∠ACD=180°.

又∵∠ACD+∠BCD=180°，

∴∠AED=∠BCD=60°.

∵AD=AE，

∴三角形ADE是等边三角形.

∴∠EAD=60°，

∴∠EAD=∠ECD=∠CDB=60°.

∴CE∥BD;

(2) ①∵∠EDA=∠CDB=60°，

∴∠EDA+∠ADC=∠CDB+∠ADC，即∠EDC=∠ADB.

又∵ED=AD,CD=DB,

∴.

∴EC=AB=4.

过点E作EG⊥AB于点G，在直角三角形CFE中，∠ECA=60°，∴EG=EC=2

∴点E的运动轨迹为于AB平行且距离为2的直线上.

所以点C在A时，得到点E1, 点C在B时，得到点E2,∴四边形E1ACE2是平行四边形,

所以E1E2=AB=4.

∴E的运动路径长为4.

②设CB的长为x(0<x<4),则AC=4-x,BD=CB=x.

∵CE∥BD，

∴

∴=,∴=.

∴a=-+x=-(x-2)2+1.

当x=2时，a有最大值为1；

当x=0时，a有最小值0.

∴0≤a≤1.

(3)当C在AB之间时，过点D作DH⊥AB与点H，则AC=1,BC=BD=3.

∴BH=BC=，DH=BD=.

∴AH=AB-BH=.

∴tan∠DEC=tan∠DAH==.

当C在A的左边时，同理可以求得tan∠DEC=tan∠DAH=.

∴tan∠DEC的值为或；