Question

【题目】如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点坐标为，点坐标为，点是抛物线的顶点，过点作轴的垂线，垂足为，连接．

（1）求抛物线的解析式及点的坐标；

（2）点是抛物线上的动点，当时，求点的坐标；

（3）若点是轴上方抛物线上的动点，以为边作正方形，随着点的运动，正方形的大小、位置也随着改变，当顶点或恰好落在轴上时，请直接写出点的横坐标．

Answer 1

【答案】（1），；（2）点的坐标为或；（3）点的横坐标为或0或2或．

【解析】

（1）将点B、C坐标代入可求得解析式，将二次函数转化为顶点式，得出顶点；

（2）过作轴于点，设出点F的坐标，利用可得结果；

（3）分2种情况讨论，一种是点G在y轴上，另一种是H在y轴上，利用矩正方形夹角为90°和邻边相等的性质可求得．

（1）把点坐标为，点坐标为代入抛物线得：

解得：

∴，

∴；

（2）如图，在线段上选取点，使得，过作轴于点．

此时．

设，

在中，

．

即．

解得．

∴．

设，则，

∵，

∴，

∴，

∵，，

∴，，

即，

当点在轴上方时，有，

解得（舍去），，

此时点的坐标为；

当点在轴下方时，有，

解得（舍去），，

此时点的坐标为；

综上可知点的坐标为或；

（3）情况一：点G在y轴上

设点P(m，)

∵

∴点P(m，)

∵点B(4，0)

∴根据B、P两点可得PB的解析式为：

∵四边形PHGB是矩形，∴BG⊥PB

∴直线BG的解析式中，k=

将点B代入BG的解析式，可求得BG的解析式为：

∵点G在y轴上，令x=0，解得：y=

∴G(0，)

∵四边形PHGB是矩形，∴PB=BG，

根据点B、P的坐标得：

根据点B、G的坐标得：

另，即

∵

∴化简得：

a.(m-4)(m+2)=8

解得：m=1+(舍)，或m=1-(舍)

b.(m-4)(m+2)=-8

解得：m=0，或m=2

情况二：点H在y轴上

同上:点P(m，)，点B(4，0)，根据B、P两点可得PB的解析式为：，

∵四边形PHGB是矩形，∴PH⊥PB

∴PH解析式的k=

将点P代入PH的解析式，可求得PH的解析式为：

∴H(0，)

根据点P、H的坐标得：

同理，，即：

化简得：

a.

解得：m=2+(舍)，或m=2－2

b.

解得：m=2，或m=-2(舍)

综上得：点的横坐标为或0或2或