Question

如图在正方形ABCD中，BE平分∠DBC，交DC于点E，延长BC到点F，使CF=CE，连接DF．若FD²=4+2

2

，则正方形ABCD面积是（　　）

• A、1+

  2

• B、2

  2

• C、3+2

  2

• D、4+2

  2

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质,角平分线的性质,勾股定理

专题：

分析：由△BCE≌△DCF得∠CBE=∠CDF，再根据角平分线的定义得到∠CBE=∠DBE，先利用等角的余角相等得∠DME=∠BCE=90°，即BM⊥DF，而BG平分∠DBF，根据等腰三角形的判定方法得到△BGF为等腰三角形，则BD=BF=BC+CF，由于BD=

2

BC，CF=

2

BC-BC，又FD²=BC²+CF²=4+2

2

，可计算出BC=

2

+1，然后计算正方形ABCD的面积．

解答：解：∵四边形ABCD为正方形，
∴CB=CD，∠BCD=90°，
在△BCE和△DCF中，

BC=DC ∠BCE=∠DCF CE=CF

，
∴△BCE≌△DCF（SAS），
∴∠CBE=∠CDF，
∵∠CBE=∠CDF，
而∠CEB=∠MED，
∴∠DME=∠BCE=90°，
∴BG⊥DF，
而BM平分∠DBF，
∴△BDF为等腰三角形，
∴BD=BF=BC+CF，
∵BD=

2

BC，CF=

2

BC-BC，
∴FD²=BC²+CF²=（4-2

2

）BC²=4+2

2

，
∴BC=

2

+1，
∴正方形ABCD的面积为3+2

2

．
故选：C．

点评：此题考查考查了三角形全等的判定与性质、正方形的性质，勾股定理以及等腰三角形的判定与性质．