Question

15．数学问题：如图1，在△ABC中，∠A=α，∠ABC、∠ACB的n等分线分别交于点O₁、O₂、…、O_n-1，求∠BO_n-1C的度数？

问题探究：我们从较为简单的情形入手．
探究一：如图2，在△ABC中，∠A=α，∠ABC、∠ACB的角平分线分别交于点O₁，求∠BO₁C的度数？
解：由题意可得∠O₁BC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠O₁CB=$\frac{1}{2}$∠ACB
∴∠O₁BC+∠O₁CB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{1}{2}$（180°-α）
∴∠BO₁C=180°-$\frac{1}{2}$（180°-α）=90°+$\frac{1}{2}$α．
探究二：如图3，∠A=α，∠ABC、∠ACB三等分线分别交于点O₁、O₂，求∠BO₂C的度数．
解：由题意可得∠O₂BC=$\frac{2}{3}$∠ABC，∠O₂CB=$\frac{2}{3}$∠ACB
∴∠O₂BC+∠O₂CB=$\frac{2}{3}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{2}{3}$（180°-α）
∴∠BO₂C=180°-$\frac{2}{3}$（180°-α）=60°+$\frac{2}{3}$α．
探究三：如图4，∠A=α，∠ABC、∠ACB四等分线分别交于点O₁、O₂、O₃，求∠BO₃C的度数．
（仿照上述方法，写出探究过程）
问题解决：如图1，在△ABC中，∠A=α，∠ABC、∠ACB的n等分线分别交于点O₁、O₂、…、O_n-1，求∠BO_n-1C的度数．
问题拓广：
如图2，在△ABC中，∠A=α，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点O₁，两条角平分线构成一角∠BO₁C．
得到∠BO₁C=90°+$\frac{1}{2}$α．
探究四：如图3，∠A=α，∠ABC、∠ACB三等分线分别交于点O₁、O₂，四条等分线构成两个角∠BO₁C，∠BO₂C，则∠BO₂C+∠BO₁C=180°+α．
探究五：如图4，∠A=α，∠ABC、∠ACB四等分线分别交于点O₁、O₂、O₃，六等分线构成两个角∠BO₃C，∠BO₂C，∠BO₁C，则∠BO₃C+∠BO₂C+∠BO₁C=270°+$\frac{3}{2}$α．
探究六：如图1，在△ABC中，∠A=α，∠ABC、∠ACB的n等分线分别交于点O₁、O₂、…、O_n-1，（2n-2））等分线构成（n-1）个角∠BO_n-1C…∠BO₃C，∠BO₂C，∠BO₁C，则∠BO_n-1C+…∠BO₃C+∠BO₂C+∠BO₁C=（n-1）（90°+$\frac{1}{2}$α）．

Answer 1

分析 探究三：借助探究一，二找出规律，即可得出结论；
问题解决：借助探究一，二，三找出规律即可得出结论；
探究四：借助问题解决的方法即可得出结论；
探究五：同探究四的方法即可；
探究六：同探究四的方法即可．

解答 解：探究三：由题意可得∠O₃BC=$\frac{3}{4}$∠ABC，∠O₃CB=$\frac{3}{4}$∠ACB
∴∠O₃BC+∠O₃CB=$\frac{3}{4}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{3}{4}$（180°-α）
∴∠BO₃C=180°-$\frac{3}{4}$（180°-α）=$\frac{90°}{2}$+$\frac{3}{4}$α．
问题解决：由题意可得∠O_n-1BC=$\frac{n-1}{n}$∠ABC，∠O_n-1CB=$\frac{n-1}{n}$∠ACB
∴∠O_n-1BC+∠O_n-1CB=$\frac{n-1}{n}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{n-1}{n}$（180°-α）
∴∠BO_n-1C=180°-$\frac{n-1}{n}$（180°-α）=$\frac{180°}{n}$+$\frac{n-1}{n}$α．
探究四：由题意可得∠O₁BC=$\frac{1}{3}$∠ABC，∠O₁CB=$\frac{1}{3}$∠ACB
∴∠O₁BC+∠O₁CB=$\frac{1}{3}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{1}{3}$（180°-α）
∴∠BO₁C=180°-$\frac{1}{3}$（180°-α）=120°+$\frac{1}{3}$α．
由探究二得，∠BO₂C=60°+$\frac{2}{3}$α．
∴∠BO₂C+∠BO₁C=60°+$\frac{2}{3}$α+120°+$\frac{1}{3}$α=180°+α．
故答案为：180°+α；
探究五：由题意可得∠O₁BC=$\frac{1}{4}$∠ABC，∠O₁CB=$\frac{1}{4}$∠ACB
∴∠O₁BC+∠O₁CB=$\frac{1}{4}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{1}{4}$（180°-α）
∴∠BO₁C=180°-$\frac{1}{4}$（180°-α）=135°+$\frac{1}{4}$α．
由题意可得∠O₂BC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠O₂CB=$\frac{1}{2}$∠ACB
∴∠O₂BC+∠O₂CB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{1}{2}$（180°-α）
∴∠BO₂C=180°-$\frac{1}{2}$（180°-α）=90°+$\frac{1}{2}$α．
由题意可得∠O₃BC=$\frac{3}{4}$∠ABC，∠O₃CB=$\frac{3}{4}$∠ACB
∴∠O₃BC+∠O₃CB=$\frac{3}{4}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{3}{4}$（180°-α）
∴∠BO₃C=180°-$\frac{3}{4}$（180°-α）=45°+$\frac{3}{4}$α．
∴∠BO₃C+∠BO₂C+∠BO₁C=45°+$\frac{3}{4}$α+90°+$\frac{1}{2}$α+135°+$\frac{1}{4}$α=270°+$\frac{3}{2}$α．
故答案为270°+$\frac{3}{2}$α．
探究六：由题意可得∠O₁BC=$\frac{1}{n}$∠ABC，∠O₁CB=$\frac{1}{n}$∠ACB
∴∠O₁BC+∠O₁CB=$\frac{1}{n}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{1}{n}$（180°-α）
∴∠BO₁C=180°-$\frac{1}{n}$（180°-α）=$\frac{n-1}{n}$•180°+$\frac{1}{n}$α．
由题意可得∠O₂BC=$\frac{2}{n}$∠ABC，∠O₂CB=$\frac{2}{n}$∠ACB
∴∠O₂BC+∠O₂CB=$\frac{2}{n}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{2}{n}$（180°-α）
∴∠BO₂C=180°-$\frac{2}{n}$（180°-α）=$\frac{n-2}{n}$•180°+$\frac{2}{n}$α．
由题意可得∠O₃BC=$\frac{3}{n}$∠ABC，∠O₃CB=$\frac{3}{n}$∠ACB
∴∠O₃BC+∠O₃CB=$\frac{3}{n}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{3}{n}$（180°-α）
∴∠BO₃C=180°-$\frac{3}{n}$（180°-α）=$\frac{n-3}{n}$•180°+$\frac{3}{n}$α．
       …
由问题解决得，∠BO_n-1C=$\frac{180°}{n}$+$\frac{n-1}{n}$α．
∴∠BO_n-1C+…∠BO₃C+∠BO₂C+∠BO₁C
=$\frac{180°}{n}$+$\frac{n-1}{n}$α+…+$\frac{n-3}{n}$•180°+$\frac{3}{n}$α+$\frac{n-2}{n}$•180°+$\frac{2}{n}$α+$\frac{n-1}{n}$•180°+$\frac{1}{n}$α
=（$\frac{1}{n}$+$\frac{2}{n}$+…$\frac{n-3}{n}$+$\frac{n-2}{n}$+$\frac{n-1}{n}$）•180°+（$\frac{n-1}{n}$+$\frac{n-2}{n}$+…+$\frac{3}{n}$+$\frac{2}{n}$+$\frac{1}{n}$）•α
=（$\frac{1}{n}$+$\frac{2}{n}$+…$\frac{n-3}{n}$+$\frac{n-2}{n}$+$\frac{n-1}{n}$）•（180°+α）
=$\frac{1}{2}$（n-1）•（180°+α）
=（n-1）（90°+$\frac{1}{2}$α）．
故答案为：（n-1）（90°+$\frac{1}{2}$α）．

点评 此题以三角形的内角和为背景，考查了角等分线，前（n-1）个正整数的和的计算方法，提取公因式，体现了类比的思想，解本题的关键是找出规律，解此类题目的方法时，从简单到复杂的过程中，寻找规律．