Question

17．如图，在?ABCD中，E为AD的中点，F为CD延长线上一点，若∠CFB=2∠ABE．求证：BF=DC-DF．

Answer 1

分析 由平行四边形的性质得出AB=CD，AB∥CD，得出∠CFB=∠ABF，由已知得出∠ABF=2∠ABE，证出BE为∠ABF的角平分线，得出∠1=∠2，因此BE交CD的延长线于M，证出∠2=∠3，由AAS证明△ABE≌△DME，得出AB=DM=CD，即可得出结论．

解答 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠CFB=∠ABF，
又∵∠CFB=2∠ABE，
∴∠ABF=2∠ABE，
∴BE为∠ABF的角平分线，
∴∠1=∠2，
延长BE交CD的延长线于M，如图所示：
∵AB∥CM，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴BF=MF，
∵E我AD的中点，
∴AE=DE，
在△ABE和△DME中，$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠3}&{\;}\\{∠AEB=∠DEM}&{\;}\\{AE=DE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DME（AAS），
∴AB=DM=CD，
∵MF=DM-DF，
∴BF=DC-DF．

点评 本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．