Question

8．如图，AB 为⊙O 的切线，切点为 B，连接 AO 与⊙O 交与点 C，BD 为⊙O 的直径，连接 CD，若∠A=30°，OA=2，则图中阴影部分的面积为（　　）

• A． $\frac{π}{3}-\frac{{\sqrt{3}}}{4}$
• B． $\frac{4π}{3}-2\sqrt{3}$
• C． $π-\sqrt{3}$
• D． $\frac{4}{3}π-\sqrt{3}$

Answer 1

分析 过O点作OE⊥CD于E，首先根据切线的性质和直角三角形的性质可得∠AOB=60°，再根据平角的定义和三角形外角的性质可得∠COD=120°，∠OCD=∠ODC=30°，根据含30°的直角三角形的性质可得OE，CD的长，再根据阴影部分的面积=扇形OCD的面积-三角形OCD的面积，列式计算即可求解

解答 解：
如图，过O点作OE⊥CD于E，
∵AB为⊙O的切线，
∴∠ABO=90°，
∵∠A=30°，
∴∠AOB=60°，
∴∠COD=120°，∠OCD=∠ODC=30°，
∵OA=2，
∴⊙O的半径为1，
∴OE=$\frac{1}{2}$，CE=DE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴CD=2CE=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
∴S_阴影=S_扇形COD-S_△COD=$\frac{120π×{1}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$=$\frac{π}{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
故选A．

点评 本题主考查了扇形面积的计算，切线的性质，本题关键是理解阴影部分的面积=扇形OCD的面积-三角形OCD的面积