Question

5．学习投影后，小明、小颖利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度，并探究影子长度的变化规律．如图，在同一时间，身高为1.6m的小明（AB）的影子BC长是3m，而小颖（EH）刚好在路灯灯泡的正下方H点，并测得HB=6m．
（1）请在图中画出形成影子的光线，并确定路灯灯泡所在的位置G；
（2）求路灯灯泡的垂直高度GH；
（3）如果小明沿线段BH向小颖（点H）走去，当小明走到BH中点B₁处时，其影子长为B₁C₁；当小明继续走剩下路程的$\frac{1}{3}$到B₂处时，其影子长为B₂C₂；当小明继续走剩下路程的$\frac{1}{4}$到B₃处，…，按此规律继续走下去，当小明走剩下路程的$\frac{1}{n+1}$到B_n处时，其影子B_nC_n的长为$\frac{3}{n+1}$m．（直接用n的代数式表示）

Answer 1

分析 （1）确定灯泡的位置，可以利用光线可逆可以画出；
（2）要求垂直高度GH可以把这个问题转化成相似三角形的问题，图中△ABC∽△GHC由它们对应成比例可以求出GH；
（3）的方法和（2）一样也是利用三角形相似，对应相等成比例可以求出，然后找出规律．

解答 解：（1）如图：形成影子的光线，路灯灯泡所在的位置G．


（2）解：由题意得：△ABC∽△GHC，
∴$\frac{AB}{GH}$=$\frac{BC}{HC}$，
∴$\frac{1.6}{GH}$=$\frac{3}{6+3}$，
解得：GH=4.8（m），
答：路灯灯泡的垂直高度GH是4.8m．

（3）同理△A₁B₁C₁∽△GHC₁，
∴$\frac{{A}_{1}{B}_{1}}{GH}$=$\frac{{B}_{1}{C}_{1}}{H{C}_{1}}$，
设B₁C₁长为x（m），则$\frac{1.6}{4.8}$=$\frac{x}{x+3}$，
解得：x=$\frac{3}{2}$（m），即B₁C₁=$\frac{3}{2}$（m）．
同理$\frac{1.6}{4.8}$=$\frac{{B}_{2}{C}_{2}}{{B}_{2}{C}_{2}+2}$，
解得B₂C₂=1（m），
∴$\frac{1.6}{4.8}$=$\frac{{B}_{n}{C}_{n}}{{B}_{n}{C}_{n}+\frac{1}{n+1}×6}$，
解得：B_nC_n=$\frac{3}{n+1}$．
故答案为：$\frac{3}{n+1}$．

点评 本题主要考查相似三角形的应用及中心投影，只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的性质对应边成比例解题．