Question

如图，在梯形ABCD中，AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，且BE=CF．
（1）求证：梯形ABCD为等腰梯形；
（2）若AD=AE=2，BC=4，求腰AB的长．

Answer 1

分析：（1）要证梯形ABCD为等腰梯形，即证AB=DC，由Rt△ABE≌Rt△DCF得证．
（2）在Rt△ABE中，用勾股定理即可求解．

解答：（1）证明：在梯形ABCD中，AD∥BC（1分）
又∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴AE=DF且∠AEB=∠DFC=90°（3分）
在Rt△ABE和Rt△DCF中，
∵

BE=CF ∠AEB=∠DFC AE=DF

∴Rt△ABE≌Rt△DCF，（4分）
∴AB=DC，即梯形ABCD为等腰梯形（5分）

（2）又∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠AEF=∠DFE=90°．
又AD∥BC，∴∠EAD=90°，
∴四边形AEFG为矩形，
∴AD=EF．（6分）
∵AD=AE=2，BC=4，
∴BE=

BC-EF

2

=1，（7分）
∴AB=

BE2+AE2

=

12+22

=

5

．得腰AB的长为

5

．（8分）

点评：命题意图：检验学生对等腰梯形判定方法的掌握情况，即同一底上的两底角相等或两条腰相等．