Question

3．已知：如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是BC的中点，AE=BF．
（1）求证：DE=DF；
（2）若BC=8，求四边形AFDE的面积．

Answer 1

分析 （1）连接AD，证明△BFD≌△AED，根据全等三角形的性质即可得出DE=DF；
（2）根据△DAE≌△DBF，得到四边形AFDE的面积=S_△ABD=$\frac{1}{2}$S_△ABC，于是得到结论．

解答 证明：（1）连接AD，
∵Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠C=45°，
∵AB=AC，DB=CD，
∴∠DAE=∠BAD=45°，
∴∠BAD=∠B=45°，
∴AD=BD，∠ADB=90°，
在△DAE和△DBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=BF}\\{∠DAE=∠B=45°}\\{AD=BD}\end{array}\right.$，
∴△DAE≌△DBF（SAS），
∴DE=DF；

（2）∵△DAE≌△DBF，
∴四边形AFDE的面积=S_△ABD=$\frac{1}{2}$S_△ABC，
∵BC=8，
∴AD=$\frac{1}{2}$BC=4，
∴四边形AFDE的面积=S_△ABD=$\frac{1}{2}$S_△ABC=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×8×4$=8．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定和等腰三角形的判定．考查了学生综合运用数学知识的能力，连接AD，构造全等三角形是解决问题的关键．