Question

12．已知如图，△ABC的面积为2400cm²，底边BC长为80cm，若点D在BC边上，E在AC边上，F在AB边上，且四边形BDEF为平行四边形．设BD=xcm，S_□BDEF=y cm²．求：
（1）y与x的函数关系式；
（2）自变量x的取值范围；
（3）当x取何值时，y有最大值？最大值是多少？

Answer 1

分析 （1）根据△ABC的面积，可求得BC边上的高，易证得△CDE∽△CBA，根据相似三角形得到的比例线段即可用x表示出E到CD的距离，即平行四边形BD边上的高，进而可根据平行四边形的面积计算方法得到y、x的函数关系式．
（2）根据BC的长即可得到x的取值范围．
（3）由（1）得到函数解析式，结合（2）的自变量取值范围，即可根据函数的性质求得y的最大值及对应的x的值．

解答 解：（1）设△DCE的高为hcm，如答图所示，

△ABC的高为bcm，则y=S_{平行四边形BDEF}=x•h；
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•b，
∴2400=$\frac{1}{2}$×80b，∴b=60（cm）．
∵ED∥AB，∴△EDC∽△ABC．
∴$\frac{h}{b}=\frac{DC}{BC}$，即$\frac{h}{60}=\frac{80-x}{80}$，
∴h=$\frac{3（80-x）}{4}$．
∴y=$\frac{3（80-x）}{4}$•x=-$\frac{3}{4}$x²+60x．
（2）自变量x的取值范围是0＜x＜80．
（3）∵a=-$\frac{3}{4}$＜0，∴y有最大值；
当x=40时，y_最大值=1200（cm²）．

点评 此题主要考查了相似三角形的判定和性质的知识，关键是根据平行四边形的面积进行分析，能够根据二次函数探求函数的最值，难度适中．