Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm．点P从B出发，沿BC方向，以1cm/s的速度向点C运动，点Q从A出发，沿AB方向，以2cm/s的速度向点B运动；若两点同时出发，当其中一点到达端点时，两点同时停止运动，设运动时间为t（s）（t＞0），△BPQ的面积为S（cm2）．

（1）t＝2秒时，则点P到AB的距离是　 　cm，S＝　 　cm2；

（2）t为何值时，PQ⊥AB；

（3）t为何值时，△BPQ是以BP为底边的等腰三角形；

（4）求S与t之间的函数关系式，并求S的最大值．

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）；（4）S＝﹣t2+3t，S的最大值为．

【解析】

（1）作PH⊥AB于H，根据勾股定理求出AB，证明△BHP∽△BCA，根据相似三角形的性质列出比例式，求出PH，根据三角形的面积公式求出S；

（2）根据△BQP∽△BCA，得到＝，代入计算求出t即可；

（3）过Q作QG⊥BC于G，证明△QBG∽△ABC，根据相似三角形的性质列式计算，得到答案；

（4）根据△QBG∽△ABC，用t表示出QG，根据三角形的面积公式列出二次函数关系式，根据二次函数的性质计算即可．

解：在Rt△ABC中，AC＝6cm，BC＝8cm，

由勾股定理得，AB＝＝＝10cm，

∴0＜t≤5，经过ts时，BP＝t，AQ＝2t，则BQ＝10﹣2t，

（1）如图1，作PH⊥AB于H，

当t＝2时，BP＝2，BQ＝10﹣2t＝6，

∵∠BHP＝∠BCA＝90°，∠B＝∠B，

∴△BHP∽△BCA，

∴＝，即＝，

解得：PH＝，

∴S＝×6×＝，

故答案为：；；

（2）当PQ⊥AB时，∠BQP＝∠BCA＝90°，∠B＝∠B，

∴△BQP∽△BCA，

∴＝，即＝，

解得，t＝，

则当t＝时，PQ⊥AB；

（3）如图2，过Q作QG⊥BC于G，

∵QB＝QP，QG⊥BC，

∴BG＝GP＝t，

∵∠BGQ＝∠C＝90°，∠B＝∠B，

∴△QBG∽△ABC，

∴＝，即＝，

解得，t＝，

∴当t＝时，△BPQ是以BP为底边的等腰三角形；

（4）由（3）可知，△QBG∽△ABC，

∴＝，即＝，

解得，QG＝﹣t+6，

∴S＝×t×（﹣t+6），

＝﹣t2+3t，

＝﹣（t﹣）2+，

则当t＝时，S的值最大，最大值为．