题目内容
如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A（
，0），B（2，0），且与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；
（2）点P是x轴下方的抛物线上一动点，连接PO，PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，求出使四边形POP′C为菱形的点P的坐标；
（3）在此抛物线上是否存在点Q，使得以A，C，B，Q四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】分析：（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式即可，再利用勾股定理逆定理得出△ABC的形状；
（2）根据菱形的性质得出PC=PO，进而求出
=
，得出x的值，即可得出P点的坐标；
（3）分别从若以BC为底边，则BC∥AQ，以及κ若以AC为底边，则BQ∥AC，分别分析即可得出答案．
解答：解：（1）根据题意，将A（
，0），B（2，0）代入y=x2+bx+c中，
解得抛物线的解析式为
，
当x=0时，y=-1．∴点C的坐标为（0，-1）．
∴在△AOC中，AC=
=
=
．
在△BOC中，BC=
=
=
．
AB=OA+OB=
+2=
，
∵AC2+BC2=
+5=
=AB2，
∴△ABC是直角三角形；
（2）设P点坐标为（x，
），PP′交CO于E，
∵四边形POP′C是菱形，
∴PC=PO．
连接PP′则PE⊥CO于E，
∴OE=EC=
，
∴y=
．
∴
=
，
解得x1=
，x2=
，
∴P点的坐标为（
，
）或（
，
）；
（3）存在．由（1）知，AC⊥BC，设Q点坐标为（a，
），
①若以BC为底边，则BC∥AQ，
∴∠ABC=∠QAB如图①
过点Q作QE⊥x轴于点E，则有△QAE∽△ABC，
∴
∴
，
解得a1=
，a2=-
（舍去）．
当a=
时，y=
，
∴点Q（
，
），
②若以AC为底边，则BQ∥AC，
∴∠CAB=∠QBA如图②
过点Q作QF⊥x轴于点F，则有△QBF∽△BAC，
∴
，
∴
，
解得a1=
，a2=2（舍去），
当a=
时，y=9，
∴点Q（
，9），
综上所述，满足题目条件的点Q为（
，
）或（-
，9）．
点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及相似三角形的应用，二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型特别注意利用数形结合是这部分考查的重点也是难点同学们应重点掌握．
（2）根据菱形的性质得出PC=PO，进而求出
=，得出x的值，即可得出P点的坐标；（3）分别从若以BC为底边，则BC∥AQ，以及κ若以AC为底边，则BQ∥AC，分别分析即可得出答案．
解答：解：（1）根据题意，将A（
，0），B（2，0）代入y=x2+bx+c中，解得抛物线的解析式为
，当x=0时，y=-1．∴点C的坐标为（0，-1）．
∴在△AOC中，AC=
==．在△BOC中，BC=
==．AB=OA+OB=
+2=，∵AC2+BC2=
+5==AB2，∴△ABC是直角三角形；
（2）设P点坐标为（x，
），PP′交CO于E，∵四边形POP′C是菱形，
∴PC=PO．
连接PP′则PE⊥CO于E，
∴OE=EC=
，∴y=
．∴
=，解得x1=
，x2=，∴P点的坐标为（
，）或（，）；（3）存在．由（1）知，AC⊥BC，设Q点坐标为（a，
），①若以BC为底边，则BC∥AQ，
∴∠ABC=∠QAB如图①
过点Q作QE⊥x轴于点E，则有△QAE∽△ABC，
∴
∴
，解得a1=
，a2=-（舍去）．当a=
时，y=，∴点Q（
，），②若以AC为底边，则BQ∥AC，
∴∠CAB=∠QBA如图②
过点Q作QF⊥x轴于点F，则有△QBF∽△BAC，
∴
，∴
，解得a1=
，a2=2（舍去），当a=
时，y=9，∴点Q（
，9），综上所述，满足题目条件的点Q为（
，）或（-，9）．点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及相似三角形的应用，二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型特别注意利用数形结合是这部分考查的重点也是难点同学们应重点掌握．
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