Question

3．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是BC边上的中点，点E是AC边上的点，连接DE，将DE绕点D逆时针旋转45°，旋转过程中，DE交线段BA的延长线于点F，交线段AC于点G，若点A恰好为BF中点，CF=24$\sqrt{2}$，CE=6，则GE=10．

Answer 1

分析 先连接AD，根据等腰直角三角形的性质求得AD=CD=12$\sqrt{2}$，AC=24，再根据∠GDC=∠GED和∠GCD=∠DAE，判定△GCD∽△DAE，最后根据相似三角形对应边成比例，列出比例式求解即可．

解答 解：连接AD，
∵△ABC是等腰直角三角形，点D是BC边上的中点，
∴AD⊥BC，AD=$\frac{1}{2}$BC=CD，即△ACD为等腰直角三角形，
又∵点A为BF中点，CF=24$\sqrt{2}$，
∴CA垂直平分BF，
∴BC=24$\sqrt{2}$，AD=CD=12$\sqrt{2}$，AC=24
由旋转得，∠GDE=45°，而∠ACD=45°，
∴∠GDC=45°+∠EDC，∠GED=45°+∠EDC，
∴∠GDC=∠GED，
又∵∠GCD=∠DAE=45°，
∴△GCD∽△DAE，
∴$\frac{CG}{AD}=\frac{CD}{AE}$，即$\frac{GE+6}{12\sqrt{2}}=\frac{12\sqrt{2}}{24-6}$
解得GE=10
故答案为：10

点评 本题主要考查了旋转的性质，解决问题的关键是掌握等腰直角三角形的性质以及相似三角形的判定与性质．本题也可以不作辅助线，根据点G是△BCF的重心，△DGE与△GDC相似进行求解．