Question

12．如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，点P是AB上一点，以CP为斜边作等腰直角△CPE，连接AE并延长交BC的延长线于点D
（1）试判断∠BPC与∠ECD的关系，并说明理由；
（2）如图2，过C点作CM⊥AB于M点，连接ME，试证明ME垂直平分AC；
（3）在点P在AB上运动的过程中（P不与A、B重合），AP、BP、CP之间存在着某种数量关系，请直接写出它们之间的数量关系（结论不需要证明）

Answer 1

分析 （1）由∠PCD=∠B+∠BPC=∠PCE+∠ECD可知，只要证明∠B=∠PCE=45°即可．
（2）如图2中，作EK⊥AB于K，EH⊥CM于H．由△EKP≌△EHC，推出EK=EH，因为EK⊥AB于K，EH⊥CM于H．所以∠EMK=∠EMC=45°，推出∠AME=∠B，推出ME∥BC，由CA=CB，CM⊥AB，推出AM=BM，CM=AM=BM，推出AE=ED，在Rt△ACD中，EC=AE=ED，此MA=MC，由此推出ME垂直平分线段AC．
（3）结论：PB²+AP²=2PC²．如图3中，将△ACP绕点C逆时针旋转90°得到△BCN．由∠ABC=∠CBN=45°，推出∠PBN=90°，推出PB²+BN²=PN²，由PC=CN，∠ACP=∠BCN，推出∠PCN=∠ACB=90°，推出PN=$\sqrt{2}$PC，AN=BN，即可推出PB²+AP²=2PC²．

解答 （1）解：结论：∠BPC=∠ECD．
理由：如图1中，

∵CA=CB，∠ACB=90°，
∴∠B=∠CAB=45°，
∵EP=EC，∠PEC=90°，
∴∠EPC=∠ECP=45°，
∵∠PCD=∠B+∠BPC=∠PCE+∠ECD，
∵∠B=∠PCE=45°，
∴∠BPC=∠ECD．

（2）证明：如图2中，作EK⊥AB于K，EH⊥CM于H．

∵∠PMC+∠PEC=180°，
∴∠MPE+∠ECH=180°，
∵∠EPK+∠MPE=180°，
∴∠EPK=∠ECH，
∵∠EKP=∠EHC=90°，EP=EC，
∴△EKP≌△EHC，
∴EK=EH，∵EK⊥AB于K，EH⊥CM于H．
∴∠EMK=∠EMC=45°，
∴∠AME=∠B，
∴ME∥BC，
∵CA=CB，CM⊥AB，
∴AM=BM，CM=AM=BM，
∴AE=ED，
在Rt△ACD中，EC=AE=ED，
∵MA=MC，
∴ME垂直平分线段AC．

（3）解：结论：PB²+AP²=2PC²．
理由：如图3中，将△ACP绕点C逆时针旋转90°得到△BCN．

则∵∠ABC=∠CBN=45°，
∴∠PBN=90°，
∴PB²+BN²=PN²，
∵PC=CN，∠ACP=∠BCN，
∴∠PCN=∠ACB=90°，
∴PN=$\sqrt{2}$PC，AN=BN，
∴PB²+AP²=2PC²．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、角平分线的判定定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用旋转法添加辅助线构造全等三角形，属于中考压轴题．