Question

11．两个反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞1）和y=$\frac{1}{x}$在第一象限内的图象如图所示，点P在y=$\frac{k}{x}$的图象上，PC⊥x轴于点C，交y=$\frac{1}{x}$的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交y=$\frac{1}{x}$的图象于点B，BE⊥x轴于点E，当点P在y=$\frac{k}{x}$的图象上运动时，以下结论：
①$\frac{PB}{PD}$=$\frac{PA}{PC}$；
②PA与PB始终相等；
③四边形PAOB的面积不会发生变化；
④△OBA的面积等于四边形ACEB的面积．
其中一定正确的是①③④（填写序号）．

Answer 1

分析 设P（m，n），则mn=k，根据A、B两点在双曲线y=$\frac{1}{x}$上，且A点横坐标与P点横坐标相等，B点纵坐标与P点纵坐标相等，表示A、B两点的坐标，再对每个结论逐一判断．

解答 解：设P（m，n），则mn=k，
∵A、B两点在双曲线y=$\frac{1}{x}$上，
∴A（m，$\frac{1}{m}$），B（$\frac{1}{n}$，n），
①∵$\frac{PB}{PD}$=$\frac{m-\frac{1}{n}}{m}$=$\frac{k-1}{k}$，$\frac{PA}{PC}$=$\frac{n}{n-\frac{1}{m}}$=$\frac{k-1}{k}$，∴$\frac{PB}{PD}$=$\frac{PA}{PC}$；结论①正确．
②∵PA=n-$\frac{1}{m}$=$\frac{k-1}{m}$，PB=m-$\frac{1}{n}$=$\frac{k-1}{n}$，PA≠PB，②结论错误；
③S_{四边形PAOB}=S_矩形OCPD-S_△OBD-S_△OAC=mn-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$=k-1（定值），③结论正确；
④∴S_△AOB=S_{四边形ABOC}-S_△AOC，
S_{四边形ABEC}=S_{四边形ABOC}-S_△BOE，
∵S_△AOC=S_△BOE=$\frac{1}{2}$，
∴△OBA的面积等于四边形ACEB的面积，④结论正确；
故答案为：①③④，

点评 本题考查了反比例函数的综合题，关键是设P点坐标，利用点与点的坐标关系，反比例函数的性质表示相关线段的长，对每一个结论进行判断．