Question

19．已知抛物线C₁的函数解析式为y=ax²+bx-3a（b＜0），若抛物线C₁经过点（0，-3），方程ax²+bx-3a=0的两根为x₁，x₂，且|x₁-x₂|=4．
（1）求抛物线C₁的顶点坐标．
（2）已知实数x＞0，请证明：x+$\frac{1}{x}$≥2，并说明x为何值时才会有x+$\frac{1}{x}$=2．
（3）若抛物线先向上平移4个单位，再向左平移1个单位后得到抛物线C₂，设A（m，y₁），B（n，y₂）是C₂上的两个不同点，且满足：∠AOB=90°，m＞0，n＜0．请你用含有m的表达式表示出△AOB的面积S，并求出S的最小值及S取最小值时一次函数OA的函数解析式．

Answer 1

分析 （1）根据点（0，-3）在抛物线C₁上，即可得出a的值，将其代入抛物线解析式中，再根据根与系数的关系找出x₁+x₂=-b、x₁•x₂=-3，结合|x₁-x₂|=4即可求出b的值，将其代入抛物线解析式中，利用配方法即可得出抛物线C₁的顶点坐标；
（2）由x＞0．利用配方法可得出x+$\frac{1}{x}$-2=$（\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}）^{2}$，再根据偶次方非负可得出x+$\frac{1}{x}$≥2，并能找出当x=1时取等号；
（3）根据平移的性质找出抛物线C₂的解析式，从而可找出A、B点的坐标，根据△AOB为直角三角形结合勾股定理找出m、n之间的关系，再根据三角形的面积公式即可找出S关于m的关系式，根据（2）的结论即可得出S的最小值，找出此时的点A的坐标即可得出一次函数OA的函数解析式．

解答 解：（1）∵抛物线过（0，-3）点，
∴-3a=-3，
∴a=1，
∴y=x²+bx-3．
∵x²+bx-3=0的两根为x₁，x₂且|x₁-x₂|=4，
∴x₁+x₂=-b，x₁•x₂=-3，
∴$|{{x_1}-{x_2}}|=\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}$=$\sqrt{（-b）^{2}-4×（-3）}$=4且b＜0，
∴b=-2，
∴y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴抛物线C₁的顶点坐标为（1，-4）．
（2）∵x＞0，
∴x+$\frac{1}{x}$-2=$（\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}）^{2}$≥0，
∴$x+\frac{1}{x}≥2$，
显然当x=1时，才有$x+\frac{1}{x}=2$．
（3）由平移知识可得抛物线C₂的解析式为：y=x²，
∴A（m，m²），B（n，n²），
∵△AOB为Rt△，
∴OA²+OB²=AB²，
∴m²+m⁴+n²+n⁴=（m-n）²+（m²-n²）²，
化简得：mn=-1，
∵S=$\frac{1}{2}OA•OB$=$\frac{1}{2}\sqrt{{m^2}+{m^4}}•\sqrt{{n^2}+{n^4}}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{m}^{2}{n}^{2}+{m}^{2}{n}^{4}+{m}^{4}{n}^{2}+{m}^{4}{n}^{4}}$，
∵mn=-1，
∴S=$\frac{1}{2}\sqrt{2+{m^2}+{n^2}}=\frac{1}{2}\sqrt{2+{m^2}+\frac{1}{m^2}}$=$\frac{1}{2}\sqrt{{{（m+\frac{1}{m}）}^2}}=\frac{1}{2}（{m+\frac{1}{m}}）≥\frac{1}{2}•2=1$，
∴S的最小值为1，此时m=1，A（1，1），
∴直线OA的一次函数解析式为y=x．

点评 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、根与系数的关系以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）求出a、b值；（2）根据偶次方非负得出x+$\frac{1}{x}$≥2；（3）找出S关于m的函数关系式．本题属于中档题，难道不大，解决该题型题目时，巧妙利用x+$\frac{1}{x}$≥2是关键．