如图.直线与x轴.y轴交于A.B两点.且OA=OB=1.点P是反比例函数$y=\frac{1}{2x}$图象在第一象限的分支上的任意一点.P点坐标为(a.b).由点P分别向x轴.y轴作垂线PM.PN.垂足分别为M.N,PM.PN分别与直线交于点E.点F．(1)设交点E.F都在线段AB上.分别求出点E.点F的坐标．(2)△AOF与△BOE是否一定相似?如果一定相似.请予以证明,如果� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

10．

如图，直线与x轴、y轴交于A、B两点，且OA=OB=1，点P是反比例函数$y=\frac{1}{2x}$图象在第一象限的分支上的任意一点，P点坐标为（a，b），由点P分别向x轴，y轴作垂线PM、PN，垂足分别为M、N；PM、PN分别与直线交于点E，点F．
（1）设交点E、F都在线段AB上，分别求出点E、点F的坐标．（用含a的代数式表示）
（2）△AOF与△BOE是否一定相似？如果一定相似，请予以证明；如果不一定相似或一定不相似，请简短说明理由．
（3）当点P在曲线上移动时，△OEF随之变动，指出在△OEF的三个内角中，大小始终保持不变的那个角和它的大小，并证明你的结论．

分析（1）首先设直线EF解析式为y=kx+b，由题知A（1，0），B（0，1），然后利用待定系数法求得直线EF的解析式，又由点P是反比例函数$y=\frac{1}{2x}$图象上，可得$b=\frac{1}{2a}$，继而求得答案；
（2）由OA=OB=1，可得AB=$\sqrt{2}$，∠OBA=∠OAB=45°，继而表示出BE，AF，即可证得BE•AF=OA•OB=1，则可得$\frac{BE}{OB}=\frac{OA}{AF}$，∠OBA=∠OAB=45°，证得△AOF∽△BEO；
（3）由△AOF∽△BEO，根据相似三角形的对应角相等，证得∠FOA=∠OEB，则可得∠FOE=∠EAO=45°．

解答解：（1）设直线EF解析式为y=kx+b，
由题知A（1，0），B（0，1），
则$\left\{\begin{array}{l}{k+b=0}\\{b=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴直线EF的解析式为：y=-x+1；
∵点P（a，b）是反比例函数$y=\frac{1}{2x}$图象的点，
∴$b=\frac{1}{2a}$，
∴E（a，1-a），F$（1-\frac{1}{2a}，\frac{1}{2a}）$；

（2）△AOF与△BOE一定相似．
∵OA=OB=1，
∴AB=$\sqrt{2}$，∠OBA=∠OAB=45°，
∴AE=$\sqrt{2}$AM=$\sqrt{2}$（1-a），BF=$\sqrt{2}$BN=$\sqrt{2}$（1-$\frac{1}{2a}$），
∴BE=BA-AE=$\sqrt{2}$a，AF=BA-BF=$\frac{\sqrt{2}}{2a}$，
∴BE•AF=$\frac{\sqrt{2}}{2a}$•$\sqrt{2}$a=1，
∵OA•OB=1，
∴BE•AF=OA•OB，
∴$\frac{BE}{OB}=\frac{OA}{AF}$，∠OBA=∠OAB=45°，
∴△AOF∽△BEO；

（3）∠FOE=45°角度始终不变．
∵△AOF∽△BEO，
∴∠FOA=∠OEB，
∴∠FOE+∠EOA=∠EOA+∠EAO，
得∠FOE=∠EAO=45°．