Question

（2013•松北区一模）如图1，正方形ABCD中，E为BC上一点，过B作BG⊥AE于G，延长BG至点F使∠CFB=45°

（1）求证：AG=FG；
（2）如图2延长FC、AE交于点M，连接DF、BM，若C为FM中点，BM=10，求FD的长．

Answer 1

分析：（1）过C点作CH⊥BF于H点，根据已知条件可证明△AGB≌△BHC，所以AG=BH，BG=CH，又因为BH=BG+GH，所以可得BH=HF+GH=FG，进而证明AG=FG；
（2）过D作DQ⊥MF交MF延长线于Q，根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质即可求出FD的长．

解答：（1）证明：过C点作CH⊥BF于H点，
∵∠CFB=45°
∴CH=HF，
∵∠ABG+∠BAG=90°，∠FBE+∠ABG=90°
∴∠BAG=∠FBE，
∵AG⊥BF，CH⊥BF，
∴∠AGB=∠BHC=90°，
在△AGB和△BHC中，
∵∠AGB=∠BHC，∠BAG=∠HBC，AB=BC，
∴△AGB≌△BHC，
∴AG=BH，BG=CH，
∵BH=BG+GH，
∴BH=HF+GH=FG，
∴AG=FG；
（2）解：∵CH⊥GF，
∴CH∥GM，
∵C为FM的中点，
∴CH=

1

2

GM，
∴BG=

1

2

GM，
∵BM=10，
∴BG=2

5

，GM=4

5

，
∴AG=4

5

，AB=10，
∴HF=2

5

，
∴CF=2

5

×

2

=2

10

，
∴CM=2

10

，
过B点作BK⊥CM于K，
∵CK=

1

2

CM=

1

2

CF=

10

，
∴BK=3

10

，
过D作DQ⊥MF交MF延长线于Q，
∴△BKC≌△CQD
∴CQ=BK=3

10

，
DQ=CK=

10

，
∴QF=3

10

-2

10

=

10

，
∴DF=

10+10

=2

5

．

点评：本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理的运用，题目的综合性很强，对学生的解题要求能力很高，题目难度不小．