Question

18．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作半圆O交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若CE=1，BC=6，求半圆O的半径的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD，AB为⊙0的直径得∠ADB=90°，由AB=AC，根据等腰三角形性质得AD平分BC，即DB=DC，则OD为△ABC的中位线，所以OD∥AC，而DE⊥AC，则OD⊥DE，然后根据切线的判定方法即可得到结论；
（2）连接AD．由AB为半圆O的直径，得到∠ADB=90°，根据垂直的定义得到∠DEC=∠ADB=90°．根据等腰三角形的性质得到CD=BD=$\frac{1}{2}$BC=3，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 （1）证明：连接OD．
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD．
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠OBD．
∴∠ACB=∠ODB．
∴OD∥AC，
∴∠DEC=∠ODE．
∵DE⊥AC，
∴∠DEC=90°．
∴∠ODE=90°，即OD⊥DE，
∵DE过半径OD的外端点D，
∴DE是⊙O的切线；

（2）解：连接AD．
∵AB为半圆O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵DE⊥AC，
∴∠DEC=∠ADB=90°．
∵AB=AC，BC=6，
∴CD=BD=$\frac{1}{2}$BC=3，
又∵∠ECD=∠DBA，
∴△CED∽△BDA，
∴$\frac{CE}{BD}$=$\frac{CD}{BA}$．
∵CE=1，
∴$\frac{1}{3}$=$\frac{3}{BA}$．
∴AB=9，
∴半圆O的半径的长为4.5．

点评 本题考查了切线的判定定理：过半径的外端点且与半径垂直的直线为圆的切线．也考查了等腰三角形的性质、三角形相似的判定和性质．