Question

1．阅读材料：
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$，利用上述结论可以求解如下题目：
在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c．若∠A=45°，∠B=30°，a=6，求b．
解：在△ABC中，∵$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$∴b=$\frac{asinB}{sinA}$=$\frac{6sin30°}{sin45°}$=$\frac{6×\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=3$\sqrt{2}$．
理解应用：
如图，甲船以每小时30$\sqrt{2}$海里的速度向正北方向航行，当甲船位于A₁处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B₁处，且乙船从B₁处按北偏东15°方向匀速直线航行，当甲船航行20分钟到达A₂时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B₂处，此时两船相距10$\sqrt{2}$海里．
（1）判断△A₁A₂B₂的形状，并给出证明；
（2）求乙船每小时航行多少海里？

Answer 1

分析 （1）先根据路程=速度×时间求出A₁A₂=30$\sqrt{2}$×$\frac{1}{3}$=10$\sqrt{2}$，又A₂B₂=10$\sqrt{2}$，∠A₁A₂B₂=60°，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形即可得出△A₁A₂B₂是等边三角形；
（2）先由平行线的性质及方向角的定义求出∠A₁B₁B₂=75°-15°=60°，由等边三角形的性质得出∠A₂A₁B₂=60°，A₁B₂=A₁A₂=10$\sqrt{2}$，那么∠B₁A₁B₂=105°-60°=45°．然后在△B₁A₁B₂中，根据阅读材料可知，$\frac{{B}_{1}{B}_{2}}{sin45°}$=$\frac{{A}_{1}{B}_{2}}{sin60°}$，求出B₁B₂的距离，再由时间求出乙船航行的速度．

解答 解：（1）△A₁A₂B₂是等边三角形，理由如下：
连结A₁B₂．
∵甲船以每小时30$\sqrt{2}$海里的速度向正北方向航行，航行20分钟到达A₂，
∴A₁A₂=30$\sqrt{2}$×$\frac{1}{3}$=10$\sqrt{2}$，
又∵A₂B₂=10$\sqrt{2}$，∠A₁A₂B₂=60°，
∴△A₁A₂B₂是等边三角形；

（2）过点B作B₁N∥A₁A₂，如图，
∵B₁N∥A₁A₂，
∴∠A₁B₁N=180°-∠B₁A₁A₂=180°-105°=75°，
∴∠A₁B₁B₂=75°-15°=60°．
∵△A₁A₂B₂是等边三角形，
∴∠A₂A₁B₂=60°，A₁B₂=A₁A₂=10$\sqrt{2}$，
∴∠B₁A₁B₂=105°-60°=45°．
在△B₁A₁B₂中，
∵A₁B₂=10$\sqrt{2}$，∠B₁A₁B₂=45°，∠A₁B₁B₂=60°，
由阅读材料可知，$\frac{{B}_{1}{B}_{2}}{sin45°}$=$\frac{{A}_{1}{B}_{2}}{sin60°}$，
解得B₁B₂=$\frac{10\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{20\sqrt{3}}{3}$，
所以乙船每小时航行：$\frac{20\sqrt{3}}{3}$÷$\frac{1}{3}$=20$\sqrt{3}$海里．

点评 本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，等边三角形的判定与性质，方向角的定义，锐角三角函数的定义，学生的阅读理解能力以及知识的迁移能力．正确理解阅读材料是解题的关键．