Question

9．如图，在四边形纸片ABCD中，AB=BC，AD=CD，∠A=∠C=90°，∠B=150°．将纸片先沿直线BD对折，再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平．若铺平后的图形中有一个是面积为2的平行四边形，则CD=2+$\sqrt{3}$或4+2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根据题意结合裁剪的方法得出符合题意的图形有两个，分别利用菱形的判定与性质以及勾股定理得出CD的长．

解答 解：如图1所示：作AE∥BC，延长AE交CD于点N，过点B作BT⊥EC于点T，
当四边形ABCE为平行四边形，
∵AB=BC，
∴四边形ABCE是菱形，
∵∠A=∠C=90°，∠B=150°，BC∥AN，
∴∠ADC=30°，∠BAN=∠BCE=30°，
则∠NAD=60°，
∴∠AND=90°，
∵四边形ABCE面积为2，
∴设BT=x，则BC=EC=2x，
故2x×x=2，
解得：x=1（负数舍去），
则AE=EC=2，EN=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
故AN=2+$\sqrt{3}$，
则AD=DC=4+2$\sqrt{3}$；
如图2，当四边形BEDF是平行四边形，
∵BE=BF，
∴平行四边形BEDF是菱形，
∵∠A=∠C=90°，∠B=150°，
∴∠ADB=∠BDC=15°，
∵BE=DE，
∴∠AEB=30°，
∴设AB=y，则BE=2y，AE=$\sqrt{3}$y，
∵四边形BEDF面积为2，
∴AB×DE=2y²=2，
解得：y=1，故AE=$\sqrt{3}$，DE=2，
则AD=2+$\sqrt{3}$，
综上所述：CD的值为：2+$\sqrt{3}$或4+2$\sqrt{3}$．
故答案为：2+$\sqrt{3}$或4+2$\sqrt{3}$．

点评 此题主要考查了剪纸问题以及勾股定理和平行四边形的性质等知识，根据题意画出正确图形是解题关键．