Question

19．在△ABC中，∠B=22.5°，∠C=30°，AB的垂直平分线OD交BC边于点D，连结AD
（1）求∠DAC的度数；
（2）若AC=4cm，求△ABC的面积（结果保留根号）

Answer 1

分析 （1）根据线段的垂直平分线的性质得到AD=BD，得到∠B=∠BAD=22.5°，根据三角形外角的性质求出∠ADC=45°，根据三角形内角和定理计算即可；
（2）过A点作AE⊥BC于点E，则AE=DE，根据直角三角形的性质求出AE、BC的长，根据三角形面积公式计算即可．

解答 解：（1）∵OD是AB的垂直平分线；
∴AD=BD，
∴∠B=∠BAD=22.5⁰，
∴∠ADC=45°，
∵∠A=30°，
∴∠DAC=105°；
（2）过A点作AE⊥BC于点E，则AE=DE，
在Rt△ACE中，
∵AC=4，
∴AE=2，EC=2$\sqrt{3}$，
∴DE=2，
在Rt△AED中，
AD=2$\sqrt{2}$，
∴AD=BD=2$\sqrt{2}$，
∴BC=2$\sqrt{2}$+2$\sqrt{3}$+2
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}AE•BC$=$\frac{1}{2}×2×$（$2\sqrt{2}+2\sqrt{3}+2$）=（$2\sqrt{2}+2\sqrt{3}+2$）．

点评 本题考查的是线段的垂直平分线的性质、直角三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．