Question

在平面直角坐标系xOy中，已知顶点为P（0，2）的二次函数图象与x轴交于A、B两点，A点坐标为（2，0）．
（1）求该二次函数的解析式，并写出点B坐标；
（2）点C在该二次函数的图象上，且在第四象限，当△ABC的面积为12时，求点C坐标；
（3）在（2）的条件下，点D 在y轴上，且△APD与△ABC相似，求点D坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）已知二次函数图象的顶点坐标和图象上另一点的坐标，所以利用顶点式方程来表示二次函数解析式；
（2）如图，过点C作CH⊥x轴，垂足为H．设点C横坐标为m，则CH=

1

2

m2-2．由三角形的面积公式得

1

2

•[2-(-2)]•(

1

2

m2-2)=12，所以由点C所在的象限求得C（4，-6）；
（3）需要分类讨论：①△APD∽△ABC；②△ADP∽△ABC．

解答：解：（1）设抛物线表达式为y=ax²+2（a≠0）．
把（2，0）代入解析式，解得a=-

1

2

．
所以 抛物线表达式为y=-

1

2

x2+2．则B（-2，0）；

（2）如图，过点C作CH⊥x轴，垂足为H．
设点C横坐标为m，则CH=

1

2

m2-2．
由题意得

1

2

•[2-(-2)]•(

1

2

m2-2)=12，
解得m=±4．
∵点C在第四象限，
∴m=4．
∴C（4，-6）；

（3）∵PO=AO=2，∠POA=90°，
∴∠APO=45°．
∵BH=CH=6，∠CHB=90°，
∴∠CBA=45°．
∵∠BAC＜135°，
∴点D应在点P下方，
∴在△APD与△ABC中，∠APD=∠CBA．
由勾股定理得PA=2

2

，BC=6

2

．
①当

PD

AB

=

PA

BC

时，

PD

4

=

2 2

6 2

．解得PD=

4

3

．∴D1(0，

2

3

)；
②当

PD

BC

=

PA

AB

时，

PD

6 2

=

2 2

4

．解得PD=6．∴D₂（0，-4）．
综上所述，点D坐标为(0，

2

3

)或（0，-4）．

点评：本题综合考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征以及相似三角形的判定与性质等二次函数综合题．解答（3）题时，对于动点问题，一定要分类讨论．