如图所示.在平面直角坐标系xOy中.△ABC的顶点B是y轴正半轴上一个定点.D是BO的中点．点C在x轴上.A在第一象限.且满足AB=AO.N是x轴负半轴上一点.∠BCN=∠BAO=α．(1)当点C在x轴正半轴上移动时.求∠BCA,时.求OC+BC的值,(3)当点C沿x轴负方向移动且与点O重合时.α=90°.此时以AO为斜边在坐标平面内作一个Rt△AOE.则∠AED的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

14．

如图所示，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点B是y轴正半轴上一个定点，D是BO的中点．点C在x轴上，A在第一象限，且满足AB=AO，N是x轴负半轴上一点，∠BCN=∠BAO=α．
（1）当点C在x轴正半轴上移动时，求∠BCA；（结果用含α的式子表示）
（2）当某一时刻A（20，17）时，求OC+BC的值；
（3）当点C沿x轴负方向移动且与点O重合时，α=90°，此时以AO为斜边在坐标平面内作一个Rt△AOE（E不与D重合），则∠AED的度数的所有可能值有45°或135°．（直接写出结果）

分析（1）过A分别作AM⊥BC于E，AF⊥x轴于F，则∠AMB=∠AFO=90°，证明△ABM≌△AOF（AAS），得到AM=AF，进而证明CA平分∠BCF，所以$∠BCA=\frac{1}{2}∠BCF$，即可解答；
（2）由△ABM≌△AOF，△ACM≌△ACF，得到BM=OF，CM=CF，求出OC+BC=OC+OF+CF=2OF，由A（20，17），所以OF=20，即可得到OC+BC=40；
（3）当点C沿x轴负方向移动且与点O重合时，根据x轴与y轴垂直，即可得到α=90°，∠AED=45°或135°．

解答解：（1）过A分别作AM⊥BC于E，AF⊥x轴于F，则∠AMB=∠AFO=90°，

设AO与BC交于点P，在△ABP和△COP中，∠BAO=∠BCN，∠BPA=∠CPO，
∴∠ABP=∠COP，
即∠ABM=∠AOF，
在△ABM和△AOF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AMB=∠AFO}\\{∠ABM=∠AOF}\\{AB=AO}\end{array}\right.$
∴△ABM≌△AOF（AAS），
∴AM=AF，
∴CA平分∠BCF，
∴$∠BCA=\frac{1}{2}∠BCF$．
∵∠BCN=α，
∴∠BCM=180°-α，
∴$∠BCA=90°-\frac{1}{2}α$；
（2）∵△ABM≌△AOF，△ACM≌△ACF，
∴BM=OF，CM=CF，
∵OC+BC=OC+BM+CM，
∴OC+BC=OC+OF+CF=2OF，
∵A（20，17），
∴OF=20，
∴OC+BC=40；
（3）当点C沿x轴负方向移动且与点O重合时，
∵x轴与y轴垂直，
∴α=90°，
此时以AO为斜边在坐标平面内作一个Rt△AOE（E不与D重合），则∠AED的度数的所有可能值有∠AED=45°或135°．
故答案为：90；45°或135°．