Question

14．已知点P是平行四边形ABCD内一点，过点P作EF∥BC交AB、CD分别于E、F，过点P的直线HG分别于H、G，且∠HPF=∠D．
（1）如图1，求证：四边形HPFD是平行四边形；
（2）如图2，当点P在对角线BD上时，请直接写出图中面积相等的四边形．

Answer 1

分析 （1）由平行四边形的性质和已知条件得出EF∥BC∥AD，由平行线的性质得出∠HPF+∠PHD=180°，证出∠D+∠PHD=180°，得出PH∥FD，即可得出结论；
（2）证出四边形BGPE是平行四边形，由平行四边形的性质得出△ABD的面积=△BCD的面积，△BEP的面积=△BGP的面积，△BDH的面积=△PDF的面积，因此四边形AEPH的面积=四边形PGCF的面积，得出四边形ABGH的面积=四边形BCFE的面积，四边形AEFD的面积=四边形GHDC的面积即可．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∵EF∥BC，
∴EF∥BC∥AD，
∴∠HPF+∠PHD=180°，
∵∠HPF=∠D，
∴∠D+∠PHD=180°，
∴PH∥FD，
∴四边形HPFD是平行四边形；
（2）解：四边形AEPH的面积=四边形PGCF的面积，四边形ABGH的面积=四边形BCFE的面积，四边形AEFD的面积=四边形GHDC的面积；理由如下：
∵AB∥CD，PH∥FD，
∴AB∥GH∥CD，
∴四边形BGPE是平行四边形，
∵△ABD的面积=△BCD的面积，△BEP的面积=△BGP的面积，△BDH的面积=△PDF的面积，
∴四边形AEPH的面积=四边形PGCF的面积，
∴四边形ABGH的面积=四边形BCFE的面积，四边形AEFD的面积=四边形GHDC的面积．

点评 本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形面积；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证出四边形AEPH的面积=四边形PGCF的面积是解决问题（2）的关键．