Question

【题目】如图，AB为⊙O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交弧AC于点D，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点E．

(1)求证：AC∥DE；

(2)连接AD、CD、OC．填空

①当∠OAC的度数为　 　时，四边形AOCD为菱形；

②当OA＝AE＝2时，四边形ACDE的面积为　 　．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)①30°；②2.

【解析】

（1）由垂径定理，切线的性质可得FO⊥AC，OD⊥DE，可得AC∥DE；

（2）①连接CD，AD，OC，由题意可证△ADO是等边三角形，由等边三角形的性质可得DF=OF，AF=FC，且AC⊥OD，可证四边形AOCD为菱形；

②由题意可证△AFO∽△ODE，可得，即OD=2OF，DE=2AF=AC，可证四边形ACDE是平行四边形，由勾股定理可求DE的长，即可求四边形ACDE的面积．

(1)∵F为弦AC的中点，

∴AF＝CF，且OF过圆心O

∴FO⊥AC，

∵DE是⊙O切线

∴OD⊥DE

∴DE∥AC

(2)①当∠OAC＝30°时，四边形AOCD是菱形，

理由如下：如图，连接CD，AD，OC，

∵∠OAC＝30°，OF⊥AC

∴∠AOF＝60°

∵AO＝DO，∠AOF＝60°

∴△ADO是等边三角形

又∵AF⊥DO

∴DF＝FO，且AF＝CF，

∴四边形AOCD是平行四边形

又∵AO＝CO

∴四边形AOCD是菱形

②如图，连接CD，

∵AC∥DE

∴△AFO∽△EDO

∴

∴OD＝2OF，DE＝2AF

∵AC＝2AF

∴DE＝AC，且DE∥AC

∴四边形ACDE是平行四边形

∵OA＝AE＝OD＝2

∴OF＝DF＝1，OE＝4

∵在Rt△ODE中，DE＝

∴S四边形ACDE＝DE×DF

故答案为.