题目内容
【题目】在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝8，CB＝5，动点M从C点开始沿CB运动，动点N从B点开始沿BA运动，同时出发，两点均以1个单位/秒的速度匀速运动（当M运动到B点即同时停止），运动时间为t秒．
（1）AN＝ ；CM＝ ．（用含t的代数式表示）
（2）连接CN，AM交于点P．
①当t为何值时，△CPM和△APN的面积相等？请说明理由．
②当t＝3时，试求∠APN的度数．
【答案】（1）8﹣t，t；（2）①
；②∠APN＝45°
【解析】
（1）根据路程＝速度×时间，可用含t的代数式表示BN，CM的长，即可用含t的代数式表示AN的长；
（2）①由题意可得S△ABM＝S△BNC，根据三角形面积公式可求t的值；
②过点P作PF⊥BC，PG⊥AB，过点A作AE⊥CN，交CN的延长线于点E，连接BP，可证四边形PGBF是矩形，可得PF＝BG，根据三角形的面积公式，可得方程组，求出PG，PF的长，根据勾股定理可求PN的长，通过证△ANE∽△CNB，可求AE，NE的长，即可求∠APN的度数．
解：（1）∵M，N两点均以1个单位/秒的速度匀速运动，
∴CM＝BN＝t，
∴AN＝8﹣t，
故答案为：8﹣t，t；
（2）①若△CPM和△APN的面积相等
∴S△CPM+S四边形BMPN＝S△APN+S四边形BMPN，
∴S△ABM＝S△BNC，
∴
,
∴8×（5﹣t）＝5t
∴t＝
∴当t＝时，△CPM和△APN的面积相等；
②如图，过点P作PF⊥BC，PG⊥AB，过点A作AE⊥CN，交CN的延长线于点E，连接BP，
∵PG⊥AB，PF⊥BC，∠B＝90°，
∴四边形PGBF是矩形，
∴PF＝BG，
∵t＝3，
∴CM＝3＝BN，
∴BM＝2，AN＝5，
∵S△ABM＝S△ABP+S△BPM，
∴
∴16＝8PG+2PF①
∵S△BCN＝S△BCP+S△BPN，
∴
×5×3＝
∴15＝3PG+5PF②
由①②组成方程组解得：PG＝
，PF＝
，
∴BG＝
∴NG＝BN﹣BG＝3﹣＝
在Rt△PGN中，PN＝
＝
，
在Rt△BCN中，CN＝
＝
∵∠B＝∠E＝90°，∠ANE＝∠BNC
∴△ANE∽△CNB
∴
∴
∴AE＝
，NE＝
∵PE＝EN+PN
∴PE＝+＝
∴AE＝PE，且AE⊥PE
∴∠APN＝45°
