Question

在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC=5，BD=12，AD+BC=13．求证：AC⊥BD．

Answer 1

考点：勾股定理的逆定理,梯形

专题：证明题

分析：首先过点D作DK∥AC交BC的延长线于K，易得四边形ACKD是平行四边形，根据平行四边形的对边相等，易求得BD²+DK²=BK²，即可得△BDK是直角三角形，∠BDK=90°，继而证得AC⊥BD．

解答：证明：过点D作DK∥AC交BC的延长线于K，
∵AD∥BC，
∴四边形ACKD是平行四边形，
∴CK=AD，DK=AC=5，DK∥AC，
∴BK=CK+BC=AD+BC=13，
∴BD²+DK²=BK²，
∴△BDK是直角三角形，∠BDK=90°，
即DK⊥BD，
∴AC⊥BD．

点评：此题考查了勾股定理的逆定理，平行四边形的判定与性质，以及梯形的性质，难度适中，注意辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．