Question

6．如图，在△ABC中，BC=6，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F，点P是优弧$\widehat{EF}$上的一点，且∠EPF=50°，则图中阴影部分的面积是6-$\frac{10}{9}$π．

Answer 1

分析 由于BC切⊙A于D，连接AD可知AD⊥BC，从而可求出△ABC的面积；根据圆周角定理，易求得∠EAF=2∠EPF=100°，圆的半径为2，可求出扇形AEF的面积；图中阴影部分的面积=△ABC的面积-扇形AEF的面积．

解答 解：连接AD，
∵BC是切线，点D是切点，
∴AD⊥BC，
∴∠EAF=2∠EPF=100°，
∴S_扇形AEF=$\frac{100π×{2}^{2}}{360}$=$\frac{10}{9}$π，
S_△ABC=$\frac{1}{2}$AD•BC=$\frac{1}{2}$×2×6=6，
∴S_阴影部分=S_△ABC-S_扇形AEF=6-$\frac{10}{9}$π．
故答案为：6-$\frac{10}{9}$π．

点评 本题考查了扇形面积的计算，同时用到了圆周角定理和切线的概念及性质等知识，解决本题的关键是利用圆周角与圆心角的关系求出扇形的圆心角的度数，难度一般．