题目内容
【题目】如图，已知A，B两点分别在x轴和y轴的正半轴上，连接AB与反比例函数
的图象交于C、D两点.
(1)当0A＝6，OB＝3，点D的横坐标为2时，则k＝____，
=_______.
(2)当0A＝a，OB＝b时，请猜测AC与BD之间的数量关系，并说明理由.
(3)如图，以D为顶点且过点O的抛物线分别交函数的图像和x轴于点E、F，连接CF，设
=m..
①若∠AFC＝90°，则m的值为多少？
②若∠ACF＝90°，且m＞
时，请用含m的代数式表示tan∠BAO的值.
【答案】(1)4，1；(2)AC=BD；(3)①m=
；②tan∠BAO=
(m>)
【解析】
（1）先求出点A，点B的坐标，再代入解析式y=k1x+b，解出k1，b的值，得出解析式；得出点D的坐标，再代入反比例函数即可得出k的值
(2) 设直线AB的解析式为y=mx+n，根据A,B坐标即可得出直线AB的解析式为y=-
x+b，联立直线AB的解析式与反比例函数的解析式，化简整理，得bx2-abx+ab=0；易证DR∥x轴，从而∠BDR=∠CAP，根据ASA即可证明△BDR≌△CAP，即可得证.
（3）①过点D作DQ⊥x轴于Q，根据抛物线的轴对称性即可得解；
②分别过C、D两点作x轴的垂线，垂足分别记为P、Q，易证△CPA∽△FCA，根据相似三角形的性质和勾股定理即可解出.
(1)
0A＝6，OB＝3
A（6，0），B（0，3）
设直线AB解析式为:y=k1x+b，
将A,B两点坐标代入解析式得
解得
直线AB解析式为:y=-x+3
D的横坐标为2，即x=2，代入y=-x+3，得y=2
点D的坐标为（2，2）
将D（2，2）代入
解得：k=4，
=1；
(2)AC=BD.理由如下：
∵OA=a，OB=b，
∴A(a，0)，B(0，B).
设直线AB的解析式为y=mx+n，分别将A、B的坐标代入直线AB的解析式中，得
，
解得m=-，n=b，故直线AB的解析式为y=-x+b.
联立直线AB的解析式与反比例函数的解析式，得①②
将②代入①中，得
，
化简整理，得bx2-abx+ab=0.
设D、C的横坐标分别为xD、xC，由于b＞0，所以xD、xC是关于x的一元二次方程bx2-abx+ab=0的两个根.
根据韦达定理，得xD+xC=-
=a③.
图3
如图3，分别过C、D两点作x轴的垂线，垂足分别记为P、Q，过点D作DR⊥y轴于R.
显然四边形DROQ为矩形，从而RD=OQ.
由③可得，xD=a-xC，而xD =OQ， a-xC =PA，所以OQ=PA，进而RD=PA.
显然DR∥x轴，从而∠BDR=∠CAP.
在△BDR与△CAP中，有
,
∴△BDR≌△CAP(ASA)，
∴BD=CA，即AC=BD，至此结论得证.
(3)①如图4，过点D作DQ⊥x轴于Q，则由(2)可知OQ=FA.
图4
由于D为抛物线的顶点，则根据抛物线的轴对称性可知，OQ=QF，从而OQ=QF=FA，
所以m=
=.
②如图5，分别过C、D两点作x轴的垂线，垂足分别记为P、Q.
图5
设OF=t，则AF=mt，根据抛物线的轴对称性可知，OQ=OF=
.
由(2)可知，PA=OQ=.
在Rt△CPA与Rt△FCA中，有
，则△CPA∽△FCA，
从而
，即
在Rt△ACF中，CF2=FA2-CA2=
（m>）
所以tan∠BAO= tan∠CF=
=
=
（m>）.
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