Question

如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，B=90°，AB=8cm，AD=25cm，BC=26cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动，点Q从点C出发，以3cm/s的速度向点B运动．规定其中一个运动到终点时，另一个也随之停止运动．从运动开始，使PQ∥CD和PQ=CD，分别需经过多少时间？为什么？

Answer 1

考点：直角梯形,平行四边形的判定与性质,矩形的判定与性质,等腰梯形的性质

专题：动点型

分析：设点P、Q运动时间为t秒，得出AP=tcm，CQ=3tcm，PD=25-t，①当PQ∥CD时，得出方程25-t=3t，求出即可；当PQ与CD不平行，PQ=CD时，四边形PQCD为等腰梯形，分别过点P、D作PM⊥BC，DN⊥BC，垂足分别为M、N，则MN=PD=25-t，得出方程

1

2

（4t-25）=1，求出即可．

解答：解：设点P、Q运动时间为t秒，
则AP=tcm，CQ=3tcm，
∵AD=25cm，BC=26cm，
∴PD=AD-AP=25-t，
①当PQ∥CD时，又∵AD∥BC，即PD∥QC，
∴四边形PQCD为平行四边形，
∴PQ=CD，PD=CQ，
∴25-t=3t，
解得t=

25

4

s，即当t=

25

4

s时，PQ∥CD和PQ=CD；
②当PQ与CD不平行，PQ=CD时，四边形PQCD为等腰梯形．
如图2，分别过点P、D作PM⊥BC，DN⊥BC，
垂足分别为M、N，则MN=PD=25-t，
QM=CN=

1

2

（CQ-MN）=

1

2

（3t-25+t），
=

1

2

（4t-25），
∵在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，
∴∠A=90°，
∵DN⊥BC，
∴∠BND=90°，
∴四边形ABND为矩形，
∴BN=AD=25，
∴QM=CN=BC-BN=26-25=1，
∴

1

2

（4t-25）=1，解得t=

27

4

＜

26

3

．
综上，当t=

25

4

s时，PQ∥CD；当t=

25

4

s或t=

27

4

s时PQ=CD．

点评：本题考查了梯形的性质，矩形的性质和判定，平行四边形的性质的应用，题目是一道综合性比较强的题目，难度适中．