Question

12．有下面四个等式：
（1）$\sqrt{2+\frac{2}{3}}$=$2\sqrt{\frac{2}{3}}$；
（2）$\sqrt{3+\frac{3}{8}}$=$3\sqrt{\frac{3}{8}}$；
（3）$\sqrt{4+\frac{4}{15}}$=$4\sqrt{\frac{4}{15}}$；
（4）$\sqrt{5+\frac{5}{24}}=5\sqrt{\frac{4}{25}}$
观察上面四个等式，发现了什么规律，请用含有n（n是正整数，且n＞1）的代数式将规律表示出来$\sqrt{a+\frac{a}{{a}^{2}-1}}$=a$\sqrt{\frac{a}{{a}^{2}-1}}$．

Answer 1

分析 直接利用已知数据得出变化规律，进而得出答案．

解答 解：∵（1）$\sqrt{2+\frac{2}{3}}$=$2\sqrt{\frac{2}{3}}$；
（2）$\sqrt{3+\frac{3}{8}}$=$3\sqrt{\frac{3}{8}}$；
（3）$\sqrt{4+\frac{4}{15}}$=$4\sqrt{\frac{4}{15}}$；
（4）$\sqrt{5+\frac{5}{24}}=5\sqrt{\frac{4}{25}}$
∴用含有n（n是正整数，且n＞1）的代数式将规律表示出来为：$\sqrt{a+\frac{a}{{a}^{2}-1}}$=a$\sqrt{\frac{a}{{a}^{2}-1}}$．
故答案为：$\sqrt{a+\frac{a}{{a}^{2}-1}}$=a$\sqrt{\frac{a}{{a}^{2}-1}}$．

点评 此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出数字之间变化规律是解题关键．