Question

6．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点D为AB的中点，点E，F分别为AC，BC边上的动点，且CE=BF，当点E，F分别在边AC，BC上运动时，下列结论：
①∠EDF=90°；
②△DEF为等腰直角三角形；
③S_{四边形CEDF}=$\frac{1}{2}$S_△ABC；
④EF=$\frac{1}{2}$AB．
其中正确的结论有①②③．（填序号）

Answer 1

分析 解答此题的关键是在于判断△DFE是否等腰直角三角形；作常规辅助线，连接CD，由SAS定理可得△ADE≌△CDF，从而可证∠EDF=90°可得DF=DE，可得△DFE是等腰直角三角形正确；再由补割法可证③是正确的．

解答 解：如图，连接CD，

∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠DCB=∠A=45°，CD=AD=DB；
∵AC=BC，CE=BF，
∴AE=CF，
在△ADE和△CDF，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=CF}\\{∠A=∠DCB}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CDF，
∴ED=DF，∠CDF=∠EDA，
∵∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°，
∴△DFE是等腰直角三角形，
故①②正确；
∵△ADE≌△CDF，
∴S_△CDF=S_△ADE，
∴S_{四边形CDFE}=S_△CDF+S_△CDE=S_△ADE+S_△CDE=S_△ADC=$\frac{1}{2}$S_△ABC，故③正确；
∵点E，F分别在边AC，BC运动，
∴EF不一定等于$\frac{1}{2}$BC，
故④错误；
故答案为：①②③．

点评 此题考查的知识点有等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质等知识点，综合性强，难度较大，是一道难题．利用“割补法”是求不规则图形的面积的常用方法．