Question

设x₁、x₂是方程2x²-4mx+2m²+3m-2=0的两个实数根，当m=

 

时，x₁²+x₂²有最小值，最小值是

 

．

Answer 1

考点：根与系数的关系,二次函数的最值

专题：

分析：由根与系数的关系知x₁²+x₂²是关于m的二次函数，是否是在抛物线的顶点处取得最小值，就要看自变量m的取值范围，从判别式入手．

解答：解：∵x₁、x₂是方程2x²-4mx+2m²+3m-2=0的两个实根，
∴△=（-4m）²-4×2×（2m²+3m-2）≥0，可得m≤

2

3

，
又x₁+x₂=2m，x₁x₂=

2m2+3m-2

2

，
∴x₁²+x₂²=2（m-

3

4

）²+

7

8

=2（

3

4

-m）²+

7

8

，
∵m≤

2

3

，
∴

3

4

-m＞0，
∴当m=

2

3

时，x₁²+x₂²取得最小值为2（

3

4

-

2

3

）²+

7

8

=

8

9

．
故答案为

2

3

，

8

9

．

点评：本题考查了根与系数的关系，二次函数最值问题及根的判别式，难度较大，关键掌握：当抛物线的顶点在该区间内，顶点的纵坐标就是函数的最值，当抛物线的顶点不在该区间内，二次函数的最值在区间内两端点处取得．