Question

8．已知在平面直角坐标系中，A（0，4），B（7，3）．
（1）点P在x轴上，且PA=PB，求P的坐标．
（2）点Q在x轴上，且QA+QB最短，求QA+QB的最小值．

Answer 1

分析 （1）如图1，连接AB，作AB的垂直平分线交x轴于P，则PA=PB，根据已知条件得到直线AB的解析式为：y=-$\frac{1}{7}$x+4，AB的中点坐标为（3.5，3.5），得到AB的垂直平分线的解析式为y=7x-21，于是得到结论；
（2）作A关于x轴的对称点A′，连接A′B交x轴于Q，则A′B=QA+QB的最小值，过B作BH⊥AA′于H，解直角三角形即可得到结论．

解答 解：（1）如图1，连接AB，作AB的垂直平分线交x轴于P，则PA=PB，
∵A（0，4），B（7，3），
∴直线AB的解析式为：y=-$\frac{1}{7}$x+4，AB的中点坐标为（3.5，3.5），
设AB的垂直平分线的解析式为y=7x+b，
把（3.5，3.5）代入y=7x+b得，b=21，
∴AB的垂直平分线的解析式为y=7x-21，
当y=0时，x=3，
∴P（3，0）；

（2）作A关于x轴的对称点A′，连接A′B交x轴于Q，
则A′B=QA+QB的最小值，
过B作BH⊥AA′于H，
∴A′H=7，BH=7，
∴A′B=7$\sqrt{2}$，
∴QA+QB的最小值是7$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了轴对称-最短路线问题，线段垂直平分线的性质，勾股定理，关键是找出P，Q点的位置，题目比较好，难度适中．