Question

15．画出$y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+x+\frac{3}{2}$的图象，并求：
（1）顶点坐标与对称轴；
（2）x取何值时，y随x的增大而减小？x取何值时，y随x的增大而增大？
（3）x取何值时，函数有最大值或最小值，其值为多少？
（4）x取何值时，y＞0，y＜0，y=0？

Answer 1

分析 （1）利用描点法画出二次函数图象；先把抛物线解析式配成顶点式，然后根据二次函数性质可确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）（3）根据二次函数的性质结合图象求解；
（4）求得与x轴交点的坐标，利用二次函数图象得出答案即可．

解答 解：（1）y=-$\frac{1}{2}$x²+x+$\frac{3}{2}$=-$\frac{1}{2}$（x-1）²+2，与y轴的交点坐标为（0，$\frac{3}{2}$），与x轴交点坐标为（3，0），（-1，0），
对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，2）；
图象如下：

（2）当x＞1时，y随x的增大而减小；x＜1时，y随x的增大而增大；
（3）抛物线开口向下，函数有最大值，当x=1时，最大值是2；
（4）当x=-1或3时，y=0；
当x＜-1或x＞3时，y＜0；
当-1＜x＜3时，y＞0．

点评 本题考查了二次函数的性质，掌握与x轴交点坐标，与y轴交点坐标，对称轴，顶点坐标，以及增减性是解决问题的关键，注意利用图象直观解决问题．