Question

10．如图，在△ABC中，已知$AB=\sqrt{6}$，∠B=45°，∠C=60°，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 根据在△ABC中，已知$AB=\sqrt{6}$，∠B=45°，∠C=60°，可以求得BC边上高AD的长和BC的长，从而可以求得△ABC的面积．

解答 解：作BC边上高AD交BC于点D，如下图所示：

∵在△ABC中，已知$AB=\sqrt{6}$，∠B=45°，sinB=$\frac{AD}{AB}$
∴sin45°=$\frac{AD}{\sqrt{6}}$
解得，AD=$\sqrt{3}$
∴BD=AD=$\sqrt{3}$，
又∵∠C=60°，∠ADC=90°，AD=$\sqrt{3}$，tanC=$\frac{AD}{CD}$，
∴CD=$\frac{AD}{tan60°}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=1$，
∴BC=BD+CD=$\sqrt{3}+1$，
∴${S}_{△ABC}=\frac{AD×BC}{2}=\frac{\sqrt{3}×（\sqrt{3}+1）}{2}$=$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$，
即△ABC的面积是$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查解直角三角形，解题的关键是求出BC上的高AD的长和BC的长．