Question

17．如图，将△ABC沿DE折叠，使点A与BC边的中点F重合，有下面四个结论：
（1）EF∥AB且EF=$\frac{1}{2}$AB；（2）AF平分∠DFE
（3）S_{四边形ADFE}=$\frac{1}{2}$AF•DE；（4）∠BDF+∠FEC=2∠BAC．
其中一定成立的结论有（3）、（4）．

Answer 1

分析 如图，运用翻折变换的性质证明AF⊥DE，∠EAF=∠EFA（设为α），∠FAD=∠AFD（设为β）；借助三角形外角的性质可以判断选项（4）成立．运用对角线垂直的四边形的面积公式，可以判断选项（3）成立．

解答 解：如图，由翻折变换的性质得：AF⊥DE，且AO=FO；
∴EA=EF，DA=DF；
∴∠EAF=∠EFA（设为α），∠FAD=∠AFD（设为β），
∴∠BDF+∠FEC=2β+2α=2（α+β），而∠BAC=α+β，
∴∠BDF+∠FEC=2∠BAC，
故选项（4）成立．
∵AF⊥DE，
∴S_{四边形ADFE}=$\frac{1}{2}$AF•DE，
故选项（3）成立．
故答案为（3）、（4）．

点评 该题主要考查了翻折变换的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质等几何知识点及其应用问题；牢固掌握翻折变换的性质等几何知识点是解题的基础和关键．