如图(1).将一块长方形纸板摆放在平面直角坐标系中.使长方形纸版的一个直角顶点B与坐标原点重合.两条边与坐标轴重合.已知BC=4.AB=3．(1)求直线AC的解析式,(2)将长方形纸板的一个直角沿AE折叠.使B点恰好落在线段AC上的B′处.折痕AE交BC边于点E.求点E坐标,的条件下.直线AC上是否存在一点P.使得S△ADP=2S△ABE?若存在.请直接写出点P� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

18．如图（1），将一块长方形纸板摆放在平面直角坐标系中，使长方形纸版的一个直角顶点B与坐标原点重合，两条边与坐标轴重合，已知BC=4，AB=3．
（1）求直线AC的解析式；
（2）将长方形纸板的一个直角沿AE折叠，使B点恰好落在线段AC上的B′处，折痕AE交BC边于点E（图（2）），求点E坐标；
（3）在（2）的条件下，直线AC上是否存在一点P，使得S_△ADP=2S_△ABE？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请简要说明理由．

分析（1）由题意可知：C（4，0）、A（0，3）．设AC的解析式为y=kx+b，将点A、C的坐标代入得到关于k、b的二元一次方程组，从而可求得k、b的值，于是可得到直线AC的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+3；
（2）在Rt△ABC中，由勾股定理可求得AC=5，由翻折的性质可知：∠EB′C=90°，BE=BE′，B′C=2，设BE=B′E=x，然后在Rt△B′EC中，由勾股定理列出关于关于x的方程，从而可求得BE=$\frac{3}{2}$；
（3）①如图（1）所示：过点P作PF⊥AD，垂足为F．由S_△ADP=2S_△ABE，可求得PF=$\frac{9}{4}$，从而得到点P的纵坐标P_y=4-$\frac{9}{4}$=$\frac{7}{4}$，将y=$\frac{7}{4}$代入y=-$\frac{3}{4}$x+3可求得x=$\frac{5}{3}$，从而得到点P的坐标为（$\frac{5}{3}$，$\frac{7}{4}$）；
②如图（2）所示：过点P作PF⊥AD，垂足为F．由①可知：PF=$\frac{9}{4}$．可求得点P的纵坐标P_y=$\frac{25}{4}$．将y=$\frac{25}{4}$代入y=-$\frac{3}{4}$x+3可求得x=-$\frac{13}{3}$，于是得到点P的坐标为（-$\frac{13}{3}$，$\frac{25}{4}$）．

解答解：（1）∵BC=4，AB=3，
∴C（4，0）、A（0，3）．
设AC的解析式为y=kx+b，将点A、C的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=3}\end{array}\right.$．
则直线AC的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+3．
（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=5．
∵由翻折的性质可知：BE=B′E，AB=AB′=3，∠B=∠AB′E=90°
∴B′C=5-3=2，∠EB′C=90°．
设BE=B′E=x，则EC=4-x．
在Rt△B′EC中，由勾股定理得：EC²=EB′²+B′C²，即（4-x）²=x²+2²．
解得：x=$\frac{3}{2}$．
∴BE=$\frac{3}{2}$．
∴点E的坐标为（$\frac{3}{2}$，0）．
（3）①如图（1）所示：过点P作PF⊥AD，垂足为F．

${S}_{△ABE}=\frac{1}{2}AB•BE$=$\frac{1}{2}×3×\frac{3}{2}$=$\frac{9}{4}$．
∵S_△ADP=2S_△ABE，
∴S_△ADP=2×$\frac{9}{4}$=$\frac{9}{2}$．
∴$\frac{1}{2}×AD•PF=\frac{9}{2}$，即$\frac{1}{2}×4×PF=\frac{9}{2}$．
解得：PF=$\frac{9}{4}$．
∴点P的纵坐标P_y=4-$\frac{9}{4}$=$\frac{7}{4}$．
将y=$\frac{7}{4}$代入y=-$\frac{3}{4}$x+3得：$-\frac{3}{4}x+3=\frac{7}{4}$．
解得：x=$\frac{5}{3}$．
∴点P的坐标为（$\frac{5}{3}$，$\frac{7}{4}$）．
②如图（2）所示：过点P作PF⊥AD，垂足为F．

∵由①可知：PF=$\frac{9}{4}$．
∴点P的纵坐标P_y=$\frac{9}{4}+4$=$\frac{25}{4}$．
将y=$\frac{25}{4}$代入y=-$\frac{3}{4}$x+3得：-$\frac{3}{4}$x+3=$\frac{25}{4}$．
解得：x=-$\frac{13}{3}$．
∴点P的坐标为（-$\frac{13}{3}$，$\frac{25}{4}$）．
综上所述，点P的坐标为（$\frac{5}{3}$，$\frac{7}{4}$）或（-$\frac{13}{3}$，$\frac{25}{4}$）．