Question

12．如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6），B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上每秒1个单位长度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒．
（1）求直线AB的解析式．
（2）当t为何值时，△APQ和△AOB相似．
（3）当t为何值时，△APQ的面积为$\frac{24}{5}$个平方单位．

Answer 1

分析 （1）根据点A（0，6），B（8，0），运用待定系数法求得直线AB的解析式；
（2）当△APQ和△AOB相似时，根据∠PAQ与∠BAO是公共角，分两种情况讨论，分别列比例式求解即可；
（3）先过点Q作QH⊥AO于H，并根据相似三角形的性质，用含t的代数式表示HQ，再根据△APQ的面积为$\frac{24}{5}$，列出关于t的一元二次方程，求得t的值即可．

解答 解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，则
将点A（0，6），B（8，0）代入，可得
$\left\{\begin{array}{l}{6=b}\\{0=8k+b}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=6}\end{array}\right.$
∴直线AB的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+6；

（2）由A（0，6），B（8，0）可得，AO=6，BO=8，
∴在直角三角形AOB中，AB=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∵AP=t，BQ=2t，
∴AQ=10-2t，
∵∠PAQ=∠BAO，
∴分两种情况讨论：
①当△AOB∽△APQ时，$\frac{AP}{AO}$=$\frac{AQ}{QB}$，
即$\frac{t}{6}$=$\frac{10-2t}{10}$，
解得t=$\frac{30}{11}$；
②当△AOB∽△AQP时，$\frac{AP}{AB}$=$\frac{AQ}{AO}$，
即$\frac{t}{10}$=$\frac{10-2t}{6}$，
解得t=$\frac{50}{13}$，
综上，当t=$\frac{30}{11}$或$\frac{50}{13}$秒时，△APQ和△AOB相似；

（3）过点Q作QH⊥AO于H，则HQ∥OB，
∴$\frac{HQ}{OB}$=$\frac{AQ}{AB}$，
即$\frac{HQ}{8}$=$\frac{10-2t}{10}$，
解得HQ=8-$\frac{8}{5}$t，
∵△APQ的面积为$\frac{24}{5}$，
∴$\frac{1}{2}$×AP×QH=$\frac{24}{5}$，
即$\frac{1}{2}$×t×（8-$\frac{8}{5}$t）=$\frac{24}{5}$，
解得t₁=2，t₂=3，
∴当t=2或3秒时，△APQ的面积为$\frac{24}{5}$个平方单位．

点评 本题主要考查了相似三角形的综合运用，当两个三角形相似时，若没有规定对应顶点，则需要分情况讨论．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，构造相似三角形的一般方法是通过作平行线．