Question

1．如图，以正方形ABCD的对角线BD为边作等边三角形BDE，过E作EF⊥AD，交DA的延长线于F，则∠AEF的度数为45°；若等边三角形BDE的面积为18$\sqrt{2}$cm²，则正方形的面积为12$\sqrt{6}$cm²．

Answer 1

分析 由△EAD≌△EAB得∠EAD=∠EAB=$\frac{360°-∠DAB}{2}$=135°，求出∠EAF的值即可求出∠AEF，根据等边三角形的面积公式S_△BDE=$\frac{\sqrt{3}}{4}$•（BD）²，求出BD²，再根据正方形面积等于对角线乘积的一半即可解决．

解答 解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAB=∠BAF=90°，
∵△BDE是等边三角形，
∴ED=EB=BD，
在△EAD和△EAB中，
$\left\{\begin{array}{l}{ED=EB}\\{AE=AE}\\{AD=AB}\end{array}\right.$，
∴△EAD≌△EAB，
∴∠EAD=∠EAB=$\frac{360°-∠DAB}{2}$=135°，
∴∠EAF=∠EAB-∠BAF=45°，
∵EF⊥DF，
∴∠EFA=90°，
∴∠AEF=90°-∠EAF=45°，
∵S_△BDE=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（BD）²=18$\sqrt{2}$，
∴BD²=24$\sqrt{6}$，
∴S_{正方形ABCD}=$\frac{1}{2}$•（BD）²=12$\sqrt{6}$．
故答案分别为45°．，12$\sqrt{6}$．

点评 本题考查正方形的性质、等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，需要记住等边三角形的面积公式$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²，正方形的面积等于对角线乘积的一半，属于中考常考题型．