Question

17．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，AD=5，P是AD上一动点（不与A、D重合），PE⊥BP，PE交DC于点E．
（1）△ABP与△DPE是否相似？请说明理由；
（2）设AP=x，DE=y，求y与x之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；
（3）请你探索在点P运动的过程中，四边形ABED能否构成矩形？如果能，求出AP的长；如果不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）△ABP与△DPE相似，理由为：利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，利用两角相等的三角形相似即可得证；
（2）由相似得比例，将各自的长代入列出y与x的函数关系式，并求出x的范围即可；
（3）若四边形ABED为矩形，则有AB=DE，求出此时AP的长即可．

解答 解：（1）△ABP与△DPE相似，理由为：
∵∠APB+∠ABP=90°，∠APB+∠DPE=90°，
∴∠ABP=∠DPE，
∵∠A=∠D=90°，
∴△ABP∽△DPE；
（2）∵△ABP∽△DPE，
∴$\frac{AB}{DP}$=$\frac{AP}{DE}$，即$\frac{2}{5-x}$=$\frac{x}{y}$，
整理得：y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{5}{2}$x（0＜x＜5）；
（3）存在，若四边形ABED为矩形，则有AB=DE，
即2=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{5}{2}$x，
解得：x=1或x=4．
则AP=1或AP=4．

点评 此题属于相似形综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，矩形的性质，以及一元二次方程的解法，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．