Question

5．我市的重大惠民工程--公租房建设已陆续竣工，计划10年内解决低收入人群的住房问题，前6年，每年竣工投入使用的公租房面积y（单位：百万平方米），与时间x的关系是y=-$\frac{1}{6}$x+5，（x单位：年，1≤x≤6且x为整数）；后4年，每年竣工投入使用的公租房面积y（单位：百万平方米），与时间x的关系是y=-$\frac{1}{8}$x+$\frac{19}{4}$（x单位：年，7≤x≤10且x为整数）．假设每年的公租房全部出租完．另外，随着物价上涨等因素的影响，每年的租金也随之上调，预计，第x年投入使用的公租房的租金z（单位：元/m²）与时间x（单位：年，1≤x≤10且x为整数）满足一次函数关系如表：

z（元/m2）	50	52	54	56	58	…
x（年）	1	2	3	4	5	…

（1）求出z与x的函数关系式；
（2）求政府在第几年投入的公租房收取的租金最多，最多为多少百万元．

Answer 1

分析 （1）表格中x的值每增加1，对应z的值增加2，可知z是关于x的一次函数，利用待定系数法可求得函数关系式；
（2）根据收取的租金=公租房面积×公租房的租金，分别就1≤x≤6、7≤x≤10列出函数关系式，配方找到最大值，比较可得．

解答 解：（1）由题意，z与x是一次函数关系，设z=kx+b（k≠0）
把（1，50），（2，52）代入，得
∴$\left\{\begin{array}{l}k+b=50\\ 2k+b=52\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}k=2\\ b=48\end{array}\right.$
∴z=2x+48；            
（2）当1≤x≤6时，设收取的租金为W₁百万元，则
W₁=（$-\frac{1}{6}x+5$）•（2x+48）
=$-\frac{1}{3}{x^2}+2x+240$
=$-\frac{1}{3}$（x-3）²+243，
∵-$\frac{1}{3}$＜0，
∴当x=3时，W₁最大=243（百万元）；
当7≤x≤10时，设收取的租金为W₂百万元，则
W₂=（$-\frac{1}{8}x+\frac{19}{4}$）•（2x+48）
=$-\frac{1}{4}{x^2}+\frac{7}{2}x+228$
=-$\frac{1}{4}$（x-7）²+$\frac{961}{4}$，
∵$-\frac{1}{4}$＜0，
∴当x=7时，W₂最大=$\frac{961}{4}$（百万元），
∵243＞$\frac{961}{4}$，
∴第3年收取的租金最多，最多为243百万元．

点评 本题主要考查一次函数和二次函数的实际应用能力，根据题意找到相等关系是根本，列出函数关系式并会求其最值是关键．