题目内容

矩形OABC的顶点A（-8，0）、C（0，6），点D是BC边上的中点，抛物线y=ax2+bx经过A、D两点，
（1）求点D关于y轴的对称点D′的坐标及a、b的值；
（2）在y轴上取一点P，使PA+PD长度最短，求点P的坐标；
（3）将抛物线y=ax2+bx向下平移，记平移后点A的对应点为A1，点D的对应点为D1．当抛物线平移到某个位置时，恰好使得点O是y轴上到A1、D1两点距离之和OA1+OD1最短的一点，求此抛物线的解析式．
（1）由矩形的性质可知：B（-8，6），
∴D（-4，6），点D关于y轴对称点D′（4，6），
将A（-8，0）、D（-4，6）代入y=ax2+bx，得：
64a-8b=0
16a-4b=6

∴
a=-
3
8
b=-3
；

（2）设直线AD′的解析式为y=kx+n，则：
-8k+n=0
4k+n=6
，
解得：
k=
1
2
n=4
；
故直线y=
1
2
x+4与y轴交于点（0，4），所以点P（0，4）；，

（3）设抛物线现象平移了m个单位，则A1（-8，-m），D1（-4，6-m）
∴D1′（4，6-m），
令直线A1D1′为y=k′x+b′；
∴
-8k′+b′=-m
4k′+b′=-m

∴
k′=
1
2
b′=4-m

∵点O为使OA1+OD1最短的点，
∴b′=4-m=0
∴m=4，
即将抛物线向下平移了4个单位；
∴y+4=-
3
8
x2-3x，即此时的解析式为y=-
3
8
x2-3x-4．
练习册系列答案
相关题目
如图，OABC是边长为1的正方形，OC与x轴正半轴的夹角为15°，点B在抛物线y=ax2（a＜0）的图象上，则a的值为（　　）
A．-
2
3
B．-
2
3
C．-2D．-
1
2
求过（-1，0），（3，0），（1，-5）三点的抛物线的解析式，并画出该抛物线．
如图，二次函数y=-
1
2
x2+mx+m+
1
2
的图象与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点D在第一象限．过点D作x轴的垂线，垂足为H．
（1）当m=
3
2
时，求tan∠ADH的值；
（2）当60°≤∠ADB≤90°时，求m的变化范围；
（3）设△BCD和△ABC的面积分别为S1、S2，且满足S1=S2，求点D到直线BC的距离．
如图，已知二次函数的顶点坐标为（2，0），直线y=x+2与该二次函数的图象交于A，B两点，其中A点在y轴上，
（I）求此二次函数的解析式．
（II）P为线段AB上一点（A，B两端点除外），过P点作x轴的垂线PC与（I）中的二此函数的图象交于Q点，设线段PQ的长为m，P点的横坐标为x，求出函数m与自变量x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围．
（III）线段AB上是否存在一点，使（II）中的线段PQ的长等于5？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式y=-
1
8
x2+
1
2
x+
3
2
，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为______米．
如图1，已知直线y=
2
5
x+2与x轴交于点A，交y轴于C、抛物线y=ax2+4ax+b经过A、C两点，抛物线交x轴于另一点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点Q在抛物线上，且有△AQC和△BQC面积相等，求点Q的坐标；
（3）如图2，点P为△AOC外接圆上
ACO
的中点，直线PC交x轴于D，∠EDF=∠ACO．当∠EDF绕D旋转时，DE交AC于M，DF交y轴负半轴于N、问CN-CM的值是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，求出变化范围．
已知函数y=x2-kx+3图象的顶点坐标为C，并与x轴相交于A、B，且AB=4，
（1）求实数k的值；
（2）若P是上述抛物线上的一个动点（除点C外），求使S△ABP=S△ABC成立的点P的坐标．
在平面直角坐标系xOy中，抛物线的解析式是y=
1
4
x2+1，点C的坐标为（-4，0），平行四边形OABC的顶点A，B在抛物线上，AB与y轴交于点M，已知点Q（x，y）在抛物线上，点P（t，0）在x轴上．
（1）写出点M的坐标；
（2）当四边形CMQP是以MQ，PC为腰的梯形时．
①求t关于x的函数解析式和自变量x的取值范围；
②当梯形CMQP的两底的长度之比为1：2时，求t的值．

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